Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) có diện tích \(S\), giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 2x,y = 0,x = - 10,x = 10\).

a) \(S = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \).

b) \(S = \int\limits_{ - 10}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^{10} {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \).

c) Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(\frac{{2000}}{3}\).

d) Khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) ta được khối tròn xoay có thể tích là \(\frac{{128000}}{3}\).

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ \(v\left( t \right) = 2,01t - 0,025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)\). Trong đó \(v\left( t \right)\)tính theo m/s, thời gian \(t\) tính theo giây với \(t = 0\) là thời điểm xe xuất phát.

a) Quãng đường xe di chuyển được tính theo công thức là \(s\left( t \right) = 2,01 - 0,05t\left( {0 \le t \le 10} \right)\).

b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3 giây là 8,82 m.

c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 xấp xỉ \(15,277\)m.

d) Trong khoảng thời gian không quá 10 giây đầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia tốc của xe là \(1,51\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).

Ông \(A\) có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ. Ông \(A\) cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Ông \(A\) cần bao nhiêu tiền để trang trí, biết giá thành trang trí là \(1200000\)đồng\(/{\rm{1}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) (đơn vị triệu đồng)?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng song song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(6x + by + cz + d = 0\). Tính \(b + c + d\).

Hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có \(f\left( 0 \right) = 2\) và \(f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).