Cho hai điểm \(A\left( {3; - 3} \right),B\left( { - 1; - 5} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):4x - 3y - 2 = 0\).

a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {4; - 3} \right)\).

b) Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(\left( d \right)\) có phương trình \(4x + 3y = 3\).

c) Khoảng cách từ \(A\) tới \(\left( d \right)\) nhỏ hơn khoảng cách từ \(B\) tới \(\left( d \right)\).

d) Cosin của góc tạo bởi \(\left( d \right)\) và đường thẳng \(AB\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {4; - 3} \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4} \right)\).

Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(\left( d \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).

c) Ta có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}\).

Ta có \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 5} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{20}}{5}\).

Vì \(\frac{{19}}{5} < \frac{{20}}{5}\) nên \(d\left( {A,d} \right) < d\left( {B,d} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right) = - 2\left( {2;1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng.

Ta có \[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\].