Một đài quan sát (O ) cách ba vị trí (A,B,C ) như hình vẽ dưới đây thỏa mãn (OB = x ;{ rm{km}} ), (OC = x + 1 ;{ rm{km}} ) và (OA = 2 ;{ rm{km}} ). Tìm (x ) biết khoảng cách từ vị trí (A ) đến vị trí...

Xét ( Delta AOC ) có (A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC. cos 120^ circ = 4 + { left( {x + 1} right)^2} + 2. left( {x + 1} right) = {x^2} + 4x + 7 ). Suy ra (AC = sqrt {{x^2} + 4x + 7} ). Xét ( Delta ABO ) có (AB = sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = sqrt {4 - {x^2}} ). Vì (AC = 2AB ) nên ( sqrt {{x^2} + 4x + 7} = 2 sqrt {4 - {x^2}} ) Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được: ({x^2} + 4x + 7 = 4 left( {4 - {x^2}} right) ) ( Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0 ) ( Leftrightarrow x = 1 ) hoặc (x = - frac{9}{5} ). Thay lần lượt các giá trị của (x ) vào phương trình ta thấy (x = 1 ) và (x = - frac{9}{5} ) đều là nghiệm của phương trình. Vì (x > 0 ) nên (x = 1 ) thỏa mãn (OB < OA ).