Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}\].
A. Dãy số tăng, bị chặn.
B. Dãy số giảm, bị chặn trên.
C. Dãy số tăng, bị chặn trên.
D. Dãy số tăng, bị chặn dưới.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}\]
Xét hiệu:
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}} \right) - \left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} \right){\rm{ }}\]
\[{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}{\rm{ > 0}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Vậy \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ < 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\left( {{\rm{n}} - 1} \right){\rm{n}}}}{\rm{ }}\]
\[{\rm{ = 1 + 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ = 2}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ < 2}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Vậy (un) bị chặn trên.
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ > }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{3}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}}{\rm{ }}\]
\[{\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ > 0}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Vậy (un) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số (un) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số (un) bị chặn.
Vậy dãy số (un) tăng, bị chặn.
Đáp án cần chọn là: A
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 2n + 1}}\]
B. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = n + 2}}\]
C. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }} - {\rm{n + 4}}\]
D. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }} - {\rm{n + 2}}\]
Lời giải
\[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 3}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.1}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.4}}\]
…
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{2}}} \right)} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{2 = 3 + 2n}} - {\rm{2 = 2n + 1}}\]
Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 2n + 1}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2
A. \[{{\rm{u}}_{{\rm{9 }}}}{\rm{ = 13122}}\]
B. \[{{\rm{u}}_{{\rm{10 }}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{11 }}}}{\rm{ = 157464}}\]
C. \[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}}}{{{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\]
D. \[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{2022}}}}}}{{{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\]
Lời giải
Ta có:
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{S}}_{\rm{n}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}}} \right) - \left( {{{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}\left( {{\rm{3}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{9 }}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{9}} - {\rm{1 }}}}{\rm{ = }} - {\rm{13122}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{11}}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{10}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{11}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = 157464}}\]
\[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}}}{{{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2023}} - {\rm{1}}}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2024}} - {\rm{1}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{3}}^{{\rm{2022}}}}}}{{{{\rm{3}}^{{\rm{2023}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\]
\[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{2022}}}}}}{{{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2022}} - {\rm{1}}}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2024}} - {\rm{1}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{3}}^{{\rm{2021}}}}}}{{{{\rm{3}}^{{\rm{2023}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{9}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3
A. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\]
B. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5n}}\]
C. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5 + n}}\]
D. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5}}{\rm{.n + 1}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Không có giá trị của n thoả mãn.
B. 1012.
C. 2023.
D. 2024.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số giảm.
C. Dãy số không tăng không giảm.
D. Dãy số vừa tăng vừa giảm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}{\rm{ + 3}}\]
B. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 3}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}\]
C. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 3}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}\]
D. \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{3}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}\]
B. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\]
C. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\sqrt {{\rm{n + 1}}} \]
D. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập