Cho dãy số (un) với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + an + 5}}} - \sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \], trong đó a là tham số thực. Tìm a để \[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = - 1\]

\[{\rm{L = lim}}\left( {{\rm{5n}} - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right){{\rm{n}}^3}} \right) = {\rm{lim}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}\left( {\frac{5}{{{{\rm{n}}^2}}} - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right)} \right) = - \infty \]

\[{\rm{lim}}\left( {\frac{5}{{{{\rm{n}}^2}}} - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right)} \right) = - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right) < 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{a}} > \sqrt 2 }\\{{\rm{a}} < \sqrt 2 }\end{array}} \right. \to {\rm{a}} = - 9; - 2;...;2;...9\)

Đáp án cần chọn là: B

Ta có \[{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{\rm{6}}}\]

Do đó \[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{{\rm{6n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{6}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\]

Đáp án cần chọn là: D