Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;3} \right),B\left( {1; - 2} \right),C\left( {5;3} \right)\). Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) xuống \(BC\). Khi đó

a) Một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\overrightarrow {CB} \).

b) Phương trình đường cao \(AH\) là \(4x + 5y - 16 = 0\).

c) Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(5x - 4y - 13 = 0\).

d) Độ dài đường cao \(AH\) bằng \(\frac{{10}}{{\sqrt {41} }}\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có \(C_{14}^6\) cách.

b) Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^4\) cách.

c) Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^6 = 924\) cách.

d) Suy ra số cách chọn 6 bạn có mặt \(A,B\) nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ là: \(C_{14}^6 - C_{12}^4 - C_{12}^6 = 1584\) cách,

Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 6 bạn này, có 6 cách.

Vậy có \(1584.6 = 9504\) cách chọn thỏa yêu câu đề.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\). Suy ra \(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).

Vì \({S_{ABCD}} = DH.AB \Rightarrow DH = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).

Giả sử \(I\left( {a; - a} \right)\).

Mà \(I\) là trung điểm của \(BD\) nên \(D\left( {2a - 3; - 2a} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\).

Lại có \(DH = d\left( {D,AB} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {2a - 3} \right) + 3.\left( { - 2a} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a - 12} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).

Từ đó ta có \(\left[ \begin{array}{l}a + 6 = 1\\a + 6 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = - 7\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D\left( { - 13;10} \right)\\D\left( { - 17;14} \right)\end{array} \right.\).

Vì \({x_D} > - 14\) nên \(D\left( { - 13;10} \right)\).