Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có diện tích bằng 2. Biết \(A\left( {0;2} \right),B\left( {3;0} \right)\) và giao điểm \(I\) của hai đường chéo hình bình hành nằm trên đường thẳng \(y = - x\). Tìm tọa độ điểm \(D\), biết \({x_D} > - 14\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\). Suy ra \(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).

Vì \({S_{ABCD}} = DH.AB \Rightarrow DH = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).

Giả sử \(I\left( {a; - a} \right)\).

Mà \(I\) là trung điểm của \(BD\) nên \(D\left( {2a - 3; - 2a} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\).

Lại có \(DH = d\left( {D,AB} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {2a - 3} \right) + 3.\left( { - 2a} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a - 12} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).

Từ đó ta có \(\left[ \begin{array}{l}a + 6 = 1\\a + 6 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = - 7\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D\left( { - 13;10} \right)\\D\left( { - 17;14} \right)\end{array} \right.\).

Vì \({x_D} > - 14\) nên \(D\left( { - 13;10} \right)\).