Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là trung tuyến, trọng tâm \(G\), đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\) \(AC\) lần lượt tại \(E,F\). Từ \(B,C\) kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,N\).

 a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}\).

 b) \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

 c) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\).

 d) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3\).

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({21^2} + {28^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 1225\) nên \(BC = 35{\rm{ cm}}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAC\) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DA + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} = \frac{{35}}{{21 + 28}} = \frac{5}{7}\).

Suy ra \(DB = \frac{5}{7}.AB = \frac{5}{7}.21 = 15{\rm{ cm}}\) và \(DC = \frac{5}{7}.AC = \frac{5}{7}.28 = 20{\rm{ cm}}\).

b) Vì \(E\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC\) nên \(DE \bot AC\).

Mà \(BA \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)).

Do đó \(DE\parallel AB\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel AB\) nên \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\) (Hệ quả định lí Thalès)

Do đó, \(DE = \frac{4}{7}AB = \frac{4}{7}.21 = 12{\rm{ cm}}\) và \(EC = \frac{4}{7}AC = \frac{4}{7}.28 = 16{\rm{ cm}}\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(BI\) với \(AC\).

Vì \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác nên \(BF\) là đường phân giác góc \(\widehat {ABC}\).

Do đó, \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{21}}{{35}} = \frac{3}{5}\).

Suy ra \(FA = \frac{3}{5}FC = \frac{3}{8}AC = \frac{{21}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Có \(AI\) là đường phân giác của tam giác \(ABF\) nên có \(\frac{{BI}}{{FI}} = \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{21}}{{\frac{{21}}{2}}} = 2\) (1)

Gọi \(GB\) cắt \(AC\) tại \(M\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BM\) là đường trung tuyến, do đó \(\frac{{GB}}{{GM}} = 2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{GB}}{{GM}} = \frac{{IB}}{{IF}}\) suy ra \(IG\parallel FM\) hay \(IG\parallel AC\) (Theo định lí Thalès đảo).

a) Nhận thấy hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số \(2 \ne - 1\) nên chúng cắt nhau.

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

\(2x - 1 = - x + 2\) suy ra \(3x = 3\) nên \(x = 1\).

Thay \(x = 1\) vào đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), ta có \(y = 1.\)

Vậy ta có giao điểm \(I\left( {1;1} \right)\).

b) Gọi phương trình đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là: \(y = ax + b\)

Theo đề, đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) song song với \(y = \frac{1}{2}x + 9\) nên có hệ số \(a = \frac{1}{2}\).

Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(I\) nên ta có \(1 = \frac{1}{2}.1 + b\) suy ra \(b = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( {{d_3}} \right):y = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}.\)