Câu hỏi:

16/02/2025 1,122

Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ $E$ là giao điểm của $MA$ và $BD,$ $F$ là giao điểm của $MB$ và $AC.$ Đường thẳng $EF$ cắt $AD,\,\,BC$ lần lượt tại $H$ và $N.$

a) Chứng minh rằng \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

b) Chứng minh $HE = EF = FN.$

c) Biết $AB = 7,5{\rm{\;cm}},\,\,CD = 12{\rm{\;cm}}.$ Tính độ dài $HN.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\,{\rm{//}}\,CD.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,DM$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.$ $\left( 1 \right)$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,MC$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả

$Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ $E$ là giao điểm của (ảnh 1)$

định lí Thalès ta có $\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.$ $\left( 2 \right)$

Lại có $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC.$ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),$ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}},$ theo định lí Thalès đảo ta có $EF\,{\rm{//}}\,AB.$

b) Xét $\Delta ADM$ có $HE\,{\rm{//}}\,DM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.$

Xét $\Delta AMC$ có $EF\,{\rm{//}}\,MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{EF}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\]

Do đó $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{EF}}{{MC}},$ mà $DM = MC$ nên $HE = EF.$

Chứng minh tương tự ta cũng có $EF = FN.$ Suy ra $HE = EF = FN.$

c) Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Theo câu a, ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7,5}}{6} = \frac{5}{4}.$ Suy ra $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}.$

Do đó $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Mà theo câu b, $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Suy ra $HE = \frac{5}{9}DM = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{{10}}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy $HN = 3HE = 3 \cdot \frac{{10}}{3} = 10{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hãng máy bay có giá vé đi từ Thành phố Hồ Chí Minh ra Phú Yên là \[1200{\rm{ }}000\]đồng/ người. Trong đó quy định mỗi khách hàng chỉ được mang lên sân bay tối đa 7 kg hành lý. Nếu vượt quá 7 kg hành lý trở đi bắt đầu từ 7 kg trở đi cứ mỗi kg phải trả thêm \[100\,\,000\] đồng cho tiền phạt hành lý. Gọi \[y\] (đồng) là số tiền mỗi người cần trả khi đặt vé đi máy bay từ Thành phố Hồ Chí Minh ra Phú Yên, \[x{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\] là khối lượng hành lý người đó mang theo.

a) Viết công thức \[y\] theo \[x\]. Cho biết y có phải là hàm số của x không? Vì sao?

b) Một người đặt vé đi máy bay từ Thành phố Hồ Chí Minh ra Phú Yên và mang theo 9 kg hành lý. Hỏi người đó phải trả tổng cộng bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

Lời giải

a) Công thức \[y\] theo \[x\] là \[y = 1200\,\,000 + \left( {x--7{\rm{ }}} \right) \cdot 100\,\,000\] (đồng)

Khi đó, \[y\] là hàm số của \[x\]. Vì mỗi giá trị của \[x\] chỉ xác định đúng một giá trị của \[y\].

b) Tổng số tiền người đó phải trả là:

\[1200\,\,000 + \left( {9--7{\rm{ }}} \right) \cdot 100\,\,000 = 1400\,\,000\] (đồng).

Vậy người đó phải trả tổng cộng \[1400\,\,000\] đồng.

Câu 2

Cho ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = - 2x,$ $\left( {{d_2}} \right):y = 1,5x + 7$ và $\left( {{d_3}} \right):y = - 2mx + 5.$

a) Tìm $m$ để đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ là đồ thị của hàm số bậc nhất.

b) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ và tìm tọa độ giao điểm nếu có.

c) Tìm $m$ để ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

a) Để đường thẳng $\left( {{d_3}} \right):y = - 2mx + 5$ là đồ thị của hàm số bậc nhất thì $ - 2m \ne 0,$ hay $m \ne 0.$

b) Đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = - 2x$ có ${a_1} = - 2;$

Đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):y = 1,5x + 7$ có ${a_2} = 1,5.$

Do ${a_1} \ne {a_2}$ nên hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau.

Hoành độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của phương trình:

$ - 2x = 1,5x + 7$

$3,5x = - 7$

$x = - 2.$

Thay $x = - 2$ vào hàm số $y = - 2x,$ ta được $y = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là $A\left( { - 2;4} \right).$

c) Để $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_1}} \right)$ thì $ - 2m \ne - 2,$ do đó $m \ne 1.$

Để $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_2}} \right)$ thì $ - 2m \ne 1,5,$ do đó $m \ne - \frac{3}{4}.$

Khi đó ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua giao điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right).$

Do đó $4 = - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5$

$4m = - 1$

$m = - \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $m = - \frac{1}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 3