Câu hỏi:

03/03/2025 331

Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\). Từ \(A\) trên \(\left( O \right),\) kẻ tiếp tuyến \(d\) với \(\left( O \right).\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(M\) bất kỳ \(\left( M \right.\) khác \(\left. A \right),\) kẻ cát tuyến \(MNP.\) Gọi \(K\) là trung điểm của \(NP,\) kẻ tiếp tuyến \(MB\). Kẻ \[AC \bot MB,\,\,BD \bot AM\,\,\left( {C \in MB,\,\,D \in AM} \right).\] Gọi\[H\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD,\] \[I\] là giao điểm của \[OM\] và \[AB.\]

a) Chứng minh tứ giác \(AMBO\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(OI \cdot OM = {R^2}\) và \(OI \cdot IM = I{A^2}\).

c) Chứng minh ba điểm \(O,\,\,H,\,\,M\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho đường tròn   ( O ; R )  . Từ   A   trên   ( O ) ,   kẻ tiếp tuyến   d   với   ( O ) .   Trên đường thẳng   d   lấy điểm   M   bất kỳ   ( M   khác   A ) ,   kẻ cát tuyến   M N P .   Gọi   K   là trung điểm của   N P ,   kẻ tiếp tuyến   M B  . Kẻ   A C ⊥ M B , B D ⊥ A M ( C ∈ M B , D ∈ A M ) .   Gọi  H   là giao điểm của   A C   và   B D ,     I   là giao điểm của   O M   và   A B . (ảnh 1)

a) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) (do \[MA\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\], \[A\] là tiếp điểm).

Suy ra ba điểm \(O,\,\,A,\,\,M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \[OM. & \left( 1 \right)\]

Lại có \(\widehat {OBM} = 90^\circ \) (do \[MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\], \[B\] là tiếp điểm).

Suy ra ba điểm \(O,\,\,B,\,\,M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \[OM. & \left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta được tứ giác \[AMBO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OM.\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta được tứ giác \[AMBO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OM.\]

b) Ta có tứ giác \[AMBO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OM.\]

Suy ra \[AB\] là dây cung của đường tròn đường kính \[OM.\]

Do đó \(OM \bot AB\).

Xét \(\Delta OAM\) vuông tại \[A\] có \[AI\] là đường cao.

Xét \(\Delta OAM\) và \[\Delta OIA\] là hai tam giác vuông có góc \[\widehat O\] chung nên

Suy ra \[\frac{{OA}}{{OI}} = \frac{{OM}}{{OA}}\] hay \[O{A^2} = OM.OI\] mà \[OA = R\] nên \(OI \cdot OM = {R^2}\).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \[IOA\], ta có

\[I{A^2} = O{A^2} - O{I^2} = OI \cdot OM - O{I^2} = OI\left( {OM - OI} \right) = OI.IM\].

Ta có \(OA \bot AM\) (do \[AM\] là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) và \(BD \bot MA\) (gt), suy ra \[OA\,{\rm{//}}\,BD\].

Chứng minh tương tự, ta được \[OB\,{\rm{//}}\,{\rm{A}}C\].

Do đó tứ giác \[OAHB\] là hình bình hành.

Mà \(OA = OB = R\) nên tứ giác \[OAHB\] là hình thoi, suy ra \(OH \bot AB\).

Mà \(OM \bot AB\), do đó \[OM \equiv OH\].

Vậy ba điểm \[O,\,\,H,M\] thẳng hàng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

⦁ Thể tích hình nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\), được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

Do đó ý a) là sai.

⦁ Chiều cao của phần rượu có trong ly là \[7 - 3 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]. Do đó ý b) là đúng.

⦁ Thể tích của cái ly thủy tinh là \[V = \frac{1}{3}\pi \cdot {4^2} \cdot 7 = \frac{{112}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\] Do đó ý c) là sai.

⦁ Tỉ số giữa thể tích của phần còn lại trong ly rượu so với thể tích ly là: \[1 - {\left( {\frac{4}{7}} \right)^3} = \frac{{279}}{{343}}\].

Do đó ý d) là sai.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp số: 3.

Gọi \[x\] (xe) là số xe tải loại lớn cần sử dụng đề chở hết thiết bị \[\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\].

Số xe tải loại nhỏ cần sử dụng đề chở hết thiết bị là \[x + 2\] (xe).

Số tấn thiết bị mỗi xe tải loại lớn chở được là \(\frac{{15}}{x}\) (tấn).

Số tấn thiết bị mỗi xe tải loại nhỏ chở được là \(\frac{{15}}{{x + 2}}\) (tấn).

Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{15}}{x} - \frac{{15}}{{x + 2}} = 2\)

\(15\left( {x + 2} \right) - 15x = 2x{\rm{\;}}\left( {{\rm{\;}}x + 2} \right)\)

\(15\left( {x + 2 - x} \right) = 2{x^2} + 4{\rm{\;}}x\)

\(2{x^2} + 4{\rm{\;}}x - 30 = 0\)

\({x^2} + 2{\rm{\;}}x - 15 = 0\)

\(x = 3\) (TMĐK) hoặc \[{\rm{\;}}x = - 5\] (loại)

Vậy đội vận chuyển sử dụng 3 xe tải loại lớn.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho bảng tần số ghép nhóm:

Nhóm

\[\left[ {7\,;\,\,13} \right)\]

\[\left[ {13\,;\,\,19} \right)\]

\[\left[ {19\,;\,\,25} \right)\]

\[\left[ {25\,;\,\,31} \right)\]

\[\]Tần số

\(5\)

\[10\]

\[20\]

\[15\]

Mệnh đề sai là mệnh đề

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP