Câu hỏi:
03/03/2025 331Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\). Từ \(A\) trên \(\left( O \right),\) kẻ tiếp tuyến \(d\) với \(\left( O \right).\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(M\) bất kỳ \(\left( M \right.\) khác \(\left. A \right),\) kẻ cát tuyến \(MNP.\) Gọi \(K\) là trung điểm của \(NP,\) kẻ tiếp tuyến \(MB\). Kẻ \[AC \bot MB,\,\,BD \bot AM\,\,\left( {C \in MB,\,\,D \in AM} \right).\] Gọi\[H\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD,\] \[I\] là giao điểm của \[OM\] và \[AB.\]
a) Chứng minh tứ giác \(AMBO\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(OI \cdot OM = {R^2}\) và \(OI \cdot IM = I{A^2}\).
c) Chứng minh ba điểm \(O,\,\,H,\,\,M\) thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) (do \[MA\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\], \[A\] là tiếp điểm).
Suy ra ba điểm \(O,\,\,A,\,\,M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \[OM. & \left( 1 \right)\]
Lại có \(\widehat {OBM} = 90^\circ \) (do \[MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\], \[B\] là tiếp điểm).
Suy ra ba điểm \(O,\,\,B,\,\,M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \[OM. & \left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta được tứ giác \[AMBO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OM.\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta được tứ giác \[AMBO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OM.\]
b) Ta có tứ giác \[AMBO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OM.\]
Suy ra \[AB\] là dây cung của đường tròn đường kính \[OM.\]
Do đó \(OM \bot AB\).
Xét \(\Delta OAM\) vuông tại \[A\] có \[AI\] là đường cao.
Xét \(\Delta OAM\) và \[\Delta OIA\] là hai tam giác vuông có góc \[\widehat O\] chung nên
Suy ra \[\frac{{OA}}{{OI}} = \frac{{OM}}{{OA}}\] hay \[O{A^2} = OM.OI\] mà \[OA = R\] nên \(OI \cdot OM = {R^2}\).
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \[IOA\], ta có
\[I{A^2} = O{A^2} - O{I^2} = OI \cdot OM - O{I^2} = OI\left( {OM - OI} \right) = OI.IM\].
Ta có \(OA \bot AM\) (do \[AM\] là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) và \(BD \bot MA\) (gt), suy ra \[OA\,{\rm{//}}\,BD\].
Chứng minh tương tự, ta được \[OB\,{\rm{//}}\,{\rm{A}}C\].
Do đó tứ giác \[OAHB\] là hình bình hành.
Mà \(OA = OB = R\) nên tứ giác \[OAHB\] là hình thoi, suy ra \(OH \bot AB\).
Mà \(OM \bot AB\), do đó \[OM \equiv OH\].
Vậy ba điểm \[O,\,\,H,M\] thẳng hàng.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.
⦁ Thể tích hình nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\), được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h.\)
Do đó ý a) là sai.
⦁ Chiều cao của phần rượu có trong ly là \[7 - 3 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]. Do đó ý b) là đúng.
⦁ Thể tích của cái ly thủy tinh là \[V = \frac{1}{3}\pi \cdot {4^2} \cdot 7 = \frac{{112}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\] Do đó ý c) là sai.
⦁ Tỉ số giữa thể tích của phần còn lại trong ly rượu so với thể tích ly là: \[1 - {\left( {\frac{4}{7}} \right)^3} = \frac{{279}}{{343}}\].
Do đó ý d) là sai.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp số: 3.
Gọi \[x\] (xe) là số xe tải loại lớn cần sử dụng đề chở hết thiết bị \[\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\].
Số xe tải loại nhỏ cần sử dụng đề chở hết thiết bị là \[x + 2\] (xe).
Số tấn thiết bị mỗi xe tải loại lớn chở được là \(\frac{{15}}{x}\) (tấn).
Số tấn thiết bị mỗi xe tải loại nhỏ chở được là \(\frac{{15}}{{x + 2}}\) (tấn).
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{15}}{x} - \frac{{15}}{{x + 2}} = 2\)
\(15\left( {x + 2} \right) - 15x = 2x{\rm{\;}}\left( {{\rm{\;}}x + 2} \right)\)
\(15\left( {x + 2 - x} \right) = 2{x^2} + 4{\rm{\;}}x\)
\(2{x^2} + 4{\rm{\;}}x - 30 = 0\)
\({x^2} + 2{\rm{\;}}x - 15 = 0\)
\(x = 3\) (TMĐK) hoặc \[{\rm{\;}}x = - 5\] (loại)
Vậy đội vận chuyển sử dụng 3 xe tải loại lớn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.