Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) và đường thẳng \(d\) không đi qua \(O\) cắt đường tròn tại hai điểm \(A,\,\,B\). Lấy một điểm \(M\) trên tia đối của tia \(BA\) kẻ hai tiếp tuyến \(MC,\,\,MD\) với đường tròn \(\left( {C,\,\,\,D} \right.\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

a) Chứng minh rằng \(M,\,\,D,\,\,O,\,\,H\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Đoạn \(OM\) cắt đường tròn tại \(I.\) Chứng minh rằng \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD.\)

c) Đường thẳng qua \(O,\) vuông góc với \(OM\) cắt các tia \(MC,\,\,MD\) theo thứ tự tại \(P,\,\,Q.\) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên \(d\) sao cho diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất.

Cho hình bên là một thúng gạo vun đầy. Thúng có dạng nửa hình cầu với đường kính \[50\,\,{\rm{cm,}}\] phần gạo vun lên có dạng hình nón cao \[15\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]

Nhà Danh dùng lon sữa bò cũ có dạng hình trụ (bán kính đáy bằng \[5\,\,{\rm{cm}},\] chiều cao \[15\,\,{\rm{cm}})\] để đong gạo mỗi ngày. Biết mỗi ngày nhà Danh ăn 5 lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm \[90\% \] thể tích lon.

a) Thể tích hình cầu có bán kính đáy \(R\), được tính bằng công thức: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)

b) Phần gạo nằm ngang mặt thúng trở xuống có dạng nửa hình cầu có bán kính \[50\,\,{\rm{cm}}\].

c) Thể tích phần gạo trong thúng là \(\frac{{60\,\,625}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

d) Với lượng gạo ở thúng trên thì nhà Danh có thể ăn nhiều nhất là 15 ngày.

Bảng thống kê sau cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện của một trường Trung học cơ sở như sau:

Từ bảng thống kê, tần số tương đối về số lượng sách giáo khoa được mượn là

Đồ thị của hàm số \[{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} + 6m = 0\,\] có trục đối xứng là

Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì đội I đắp xong đê trong bao nhiêu ngày?

Tứ giác nội tiếp đường tròn là

Một trang trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh 150 m (như hình vẽ). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đều. Tính khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).