Câu hỏi trong đề:
10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[a + 2{b^3} = a + {b^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot {b^3} \cdot {b^3}}} = 3\sqrt[3]{{a{b^6}}}.\]
Suy ra \[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} = \frac{{a\left( {a + 2{b^3}} \right) - 2a{b^3}}}{{a + 2{b^3}}} = a - \frac{{2a{b^3}}}{{a + {b^3} + {b^3}}} \ge a - \frac{{2a{b^3}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^6}}}}} = a - \frac{{2b\sqrt[3]{a}}}{3}.\]
Tương tự, ta có: \[\frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} \ge b - \frac{{2c\sqrt[3]{b}}}{3};\,\,\frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge c - \frac{{2a\sqrt[3]{c}}}{3}.\]
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:
\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge a + b + c - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\]
Mặt khác, a + b + c = 3 nên ta có:
\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\].
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \[a + a + 1 \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot a}} = 3\sqrt[3]{{{a^2}}}\]
Suy ra \[b\sqrt[3]{a} \le \frac{1}{3}b\left( {a + a + 1} \right) = \frac{{2ab + b}}{3}.\]
Tương tự, ta có: \[c\sqrt[3]{b} \le \frac{{2bc + c}}{3};\,\,a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ac + a}}{3}.\]
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:
\[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ab + b}}{3} + \frac{{2bc + c}}{3} + \frac{{2ac + a}}{3} = \frac{2}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\]
Ta có: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
32 ≥ 3(ab + bc + ca)
Suy ra ab + bc + ca ≤ 3.
Từ đó ta có \[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3.\]
Do đó \[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 1.\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi a = b = c = 1.
Nhà sách VIETJACK:
Sách - 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 Vietjack theo chương trình mới cho 2k7
Đã bán 1,3k
₫ 36.000
₫ 18.000
Sách - 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Dành cho ôn thi THPT 2025) VietJack
Đã bán 187
₫ 135.000
₫ 38.500
Combo - Sổ tay Lý thuyết trọng tâm lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 6:
Số tập con có 3 phần tử của tập {21;22;...;22020} sao cho ba phần tử đó có thể xếp thành 1 cấp số nhân tăng bằng?
Số tập con có 3 phần tử của tập {21;22;...;22020} sao cho ba phần tử đó có thể xếp thành 1 cấp số nhân tăng bằng?
Xem đáp án »
13/03/2025
413
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận