Câu hỏi:

13/03/2025 67

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} (m - 1) x - (m - 1) y = m - 37 (1) \\ x + 2 y = 3 m + 1 (2) \end{cases}$

a) Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

b) Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên x, y và x + y bé nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Từ phương trình (2) ta có: x = 3m + 1 ‒ 2y

Thay vào phương trình (1) ta có:

(m ‒ 1)(3m + 1 ‒ 2y) ‒ (m ‒1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 2(m ‒1)y ‒ (m ‒ 1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

3m² + m ‒ 3m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m ‒ 37

3m² ‒ 2m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

‒3(m ‒ 1)y = ‒3m² + 3m ‒ 36

Xét thấy m = 1 thì phương trình trên vô nghiệm, do đó m ≠ 1, khi đó ta có:

\[y = \frac{{3{m^2} - 3m + 36}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\].

Do đó, x = 3m + 1 ‒ 2y

\[ = 3m + 1 - 2 \cdot \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{3{m^2} - 3m + m - 1 - 2{m^2} + 2m - 24}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}}\]

Vậy với m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}};\,\,\frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}} \right).$

b) Theo câu a, ta có: \[x = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}} = m + 1 - \frac{{24}}{{m - 1}}\] và \[y = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}} = m + \frac{{12}}{{m - 1}}\]

Để x và y nguyên, thì m ‒ 1 phải là ước của 24 và 12.

Mà ƯC(24, 12) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Do đó, m ‒ 1 ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Suy ra m ∈ {2; 3; 4; 5; 7; 13; 0; ‒1; ‒2; ‒3; ‒5; ‒11} (thỏa mãn).

Ta tính:

\[x + y = 2m + 1 + \frac{{12}}{{m - 1}} - \frac{{24}}{{m - 1}} = 2m + 1 - \frac{{12}}{{m - 1}}\].

Để x + y nhỏ nhất, ta thử các giá trị của m:

Khi m = ‒11, x + y = ‒22 + 1 + 1 = ‒20;

Khi m = ‒5, x + y = ‒10 + 1 + 2 = ‒7;

Khi m = ‒3, x + y = ‒6 + 1 + 3 = ‒2;

Khi m = ‒2, x + y = ‒4 + 1 + 4 = 1;

Khi m = ‒1, x + y = ‒2 + 1 + 6 = 5;

Khi m = 0, x + y = 0 + 1 + 12 = 13;

Khi m = 2, x + y = 4 + 1 ‒ 12 = ‒7;

Khi m = 3, x + y = 6 + 1 ‒ 6 = 1;

Khi m = 4, x + y = 8 + 1 ‒ 4 = 5;

Khi m = 5, x + y = 10 + 1 ‒ 3 = 8;

Khi m = 7, x + y = 14 + 1 ‒ 2 = 13;

Khi m = 13, x + y = 26 + 1 ‒ 1 = 26.

Giá trị nhỏ nhất của x + y là ‒20 khi m = ‒11.

Vậy m = ‒11.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (trong hàm số bậc nhất)

Xem đáp án

Lời giải

- Tung độ là giá trị của hàm số tại một điểm trên trục tung. Nó thể hiện độ cao của điểm đó trên đồ thị. Tung độ được ký hiệu là y và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x), trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

- Hoành độ là giá trị của biến độc lập (thường là x) tại một điểm trên trục hoành. Nó thể hiện vị trí ngang của điểm đó trên đồ thị. Hoành độ được ký hiệu là x và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x) , trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

Câu 2