Chứng minh rằng: Nếu x³ – y³ chia hết cho 3 thì x³ – y³ chia hết cho 9.

x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

Ta thấy: x³ – y³ ⋮ 3 và 3xy(x – y) ⋮ 3 nên (x – y)³ ⋮ 3

Suy ra: x – y ⋮ 3 (1) hay x ≡ y(mod3)

Lại có: x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²) (*)

·      Xét: x² + xy + y²

Mỗi số nguyên x có thể có một trong ba dạng sau khi chia cho 3:

x ≡ 0, 1, hoặc 2(mod3)

Tương tự, y cũng có thể chia 3 dư 0, 1, 2

Vì ở trên ta đã có x ≡ y(mod3)

Nên ta xét 3 trường hợp:

+ TH1: x, y ≡ 0 (mod3) tức: x, y ⋮ 3 ⇒ x² + xy + y² ⋮ 3

+ TH2: x, y ≡ 1 (mod3) ⇒ x² ≡ 1 (mod3); y² ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)

⇒ x² + xy + y² ≡ 3 (mod3) tức x² + xy + y² ⋮ 3

+ TH3: x, y ≡ 2 (mod3) ⇒ x² ≡ 1 (mod3); y² ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)

⇒ x² + xy + y² ≡ 3 (mod3) tức x² + xy + y² ⋮ 3

Vậy với x ≡ y(mod3) thì x² + xy + y² ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với (*) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y \vdots 3\\{x^2} + xy + {y^2} \vdots 3\end{array} \right.\) ⇒ (x – y)(x² + xy + y²) ⋮ 9

Vậy nếu x³ – y³ chia hết cho 3 thì x³ – y³ chia hết cho 9.