Câu hỏi:

19/08/2025 114 Lưu

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kỳ thì P(x) là một số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

·      Chứng minh a, b, c là số nguyên

+ Xét tính chính phương của P(0) và P(1)

Vì P(x) luôn là số chính phương với mọi x, ta có:

P(0) = c là số chính phương

P(1) = a + b + c là số chính phương

+ Xét tính chính phương của P(2)

P(2) = 4a + 2b + c và đây cũng phải là một số chính phương.

Do P(x) là một hàm bậc hai với hệ số thực, nếu tồn tại x sao cho P(x) không là số nguyên, thì nó không thể là số chính phương.

Nhưng theo giả thiết, P(x) luôn là số chính phương, điều này có nghĩa là tất cả giá trị của nó đều là số nguyên, tức là: a,b,c đều phải là số nguyên

·      Chứng minh b là số chẵn

  • Nếu một số nguyên là số chính phương, thì nó đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4), tức là: x2 ≡ 0 hoặc 1(mod4)
  • Nghĩa là bất kỳ số chính phương nào cũng phải có dạng 4k hoặc 4k + 1 với k Z

Từ phương trình:

P(1) = a + b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

P(2) = 4a + 2b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Ta trừ hai phương trình này:

(4a + 2b + c) − (a + b + c) ≡ 0 hoặc 1 theo (mod4)

Tức 3a + b ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Vì 3a luôn đồng dư với 0 hoặc 3 theo mod 4 (do a là số nguyên), ta suy ra:

b ≡ 0 (mod 2)

Nghĩa là b là số chẵn.

Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Trong toán học, tham số là các giá trị có thể giữ nguyên hoặc thay đổi trong các công thức và hàm số, ảnh hưởng đến cách mà các biến tương tác và kết quả của các phép toán. Chúng cho phép chúng ta điều chỉnh và nghiên cứu các hình dạng và đặc điểm của các biểu thức toán học.

Ví dụ, xét phương trình đường thẳng y = mx + b:

  • m là tham số xác định độ nghiêng của đường thẳng, biểu thị mức độ thay đổi của y khi x thay đổi. Giá trị của m quyết định độ dốc và hướng của đường thẳng.
  • b là tham số thể hiện điểm giao của đường thẳng với trục tung (trục y). Giá trị của b xác định vị trí mà đường thẳng cắt trục y, tức là giá trị của y khi x=0

Khi thay đổi giá trị của m và b, hình dạng và vị trí của đường thẳng sẽ thay đổi theo, tạo ra nhiều khả năng khác nhau.

Lời giải

Gọi chu kỳ sản xuất là x ngày, x *

Gọi số đơn vị nguyên liệu cần mua một lần là x đơn vị, x > 0

Chi phí lưu trữ x đơn vị nguyên liệu mỗi ngày là 10x (USD)

Chi phí trung bình hằng ngày là: \(C = \frac{{5000 + 10xn}}{n}\)

Do xưởng sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày: \(\frac{x}{n} = 5 \Rightarrow x = 5n\)

Ta có: \(C = \frac{{5000 + 10xn}}{n} = \frac{{5000}}{n} + 10x\)

\(C = \frac{{5000}}{n} + 10.5n = \frac{{5000}}{n} + 50n \ge 2\sqrt {\frac{{5000}}{n}.50n} = 1000\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{5000}}{n} = 50n \Rightarrow n = 100\)

Vậy cần đặt 5.100 = 500 đơn vị nguyên liệu sau mỗi 100 ngày để chi phí trung bình hằng ngày là ít nhất.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP