Tìm p nguyên tố sao cho p2+12;p+12 đều là số chính phương.

Đặt [ frac{{p + 1}}{2} = {x^2}; frac{{{p^2} + 1}}{2} = {y^2} left( {x,y in { mathbb{N}^*};x < y} right) ] Suy ra: p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2 ⇒ p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2 nên p là số lẻ Ta dễ thấy rằng 2x2 ≡ 2y2 (modp) mà p lẻ x2 ≡ y2 (modp) Mặt khác ta có: x2 – y2 = (x – y)(x + y) ⋮ p ⇒ x + y = p (vì x < y < p) Từ đó ta dễ có rằng p2 + 1 = 2(p – x)2 = 2p2 – 4px + 2x2 = 2p2 – 4px + p + 1 ⇒ 4px = p2 + p ⇒ 4x = p + 1 ⇒ 2x2 = 4x ⇒ ( left[ begin{array}{l}x = 0 x = 2 end{array} right. ) ⇒ ( left[ begin{array}{l}p = - 1 p = 7 end{array} right. ) Mà p là số nguyên tố nên p = 7. Vậy p = 7.

Câu hỏi:

13/03/2025 444

Tìm p nguyên tố sao cho $\frac{p^{2} + 1}{2}; \frac{p + 1}{2}$ đều là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \[\frac{{p + 1}}{2} = {x^2};\frac{{{p^2} + 1}}{2} = {y^2}\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};x < y} \right)\]

Suy ra: p + 1 = 2x²; p² + 1 = 2y²

⇒ p + 1 = 2x²; p² + 1 = 2y² nên p là số lẻ

Ta dễ thấy rằng 2x² ≡ 2y² (modp) mà p lẻ x² ≡ y² (modp)

Mặt khác ta có: x² – y² = (x – y)(x + y) ⋮ p

⇒ x + y = p (vì x < y < p)

Từ đó ta dễ có rằng p² + 1 = 2(p – x)² = 2p² – 4px + 2x² = 2p² – 4px + p + 1

⇒ 4px = p² + p

⇒ 4x = p + 1

⇒ 2x² = 4x

⇒ $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

⇒ $\left[ \begin{array}{l}p = - 1\\p = 7\end{array} \right.$

Mà p là số nguyên tố nên p = 7.

Vậy p = 7.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (trong hàm số bậc nhất)

Xem đáp án

Lời giải

- Tung độ là giá trị của hàm số tại một điểm trên trục tung. Nó thể hiện độ cao của điểm đó trên đồ thị. Tung độ được ký hiệu là y và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x), trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

- Hoành độ là giá trị của biến độc lập (thường là x) tại một điểm trên trục hoành. Nó thể hiện vị trí ngang của điểm đó trên đồ thị. Hoành độ được ký hiệu là x và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x) , trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

Câu 2

Giá trị nguyên là gì?

Xem đáp án

Lời giải

Giá trị nguyên là giá trị thuộc tập hợp số nguyên

Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.

Kí hiệu là: ℤ

Câu 3