Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.

Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5 ⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12 ⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11 ⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5 + Với p ≡ ±1 (mod5) ⇒ p2016 ≡ 1 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) + Với p ≡ ±2 (mod5) ⇒p4 ≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5) (p4)504 = p2016 ≡ 1 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) ⇒p2016 – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1) + Với p ≡ ±1 (mod12) ⇒p2016 ≡ 1 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12) + Với p chia 12 dư ±3 ⇒p ⋮ 3. Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L) + Với p ≡ ±5 (mod12) ⇒p2 ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12) ⇒(p2)1008 = p2016 ≡ 1 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2) Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)

Câu hỏi:

13/03/2025 109

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p²⁰¹⁶ – 1 chia hết cho 60.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5

⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12

⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11

⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5

+ Với p ≡ ±1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶– 1 ≡ 0 (mod5)

+ Với p ≡ ±2 (mod5)

⇒p⁴≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5)

(p⁴)⁵⁰⁴= p²⁰¹⁶≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶– 1 ≡ 0 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

⇒p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1)

+ Với p ≡ ±1 (mod12)

⇒p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

+ Với p chia 12 dư ±3

⇒p ⋮ 3.

Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L)

+ Với p ≡ ±5 (mod12)

⇒p² ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12)

⇒(p²)¹⁰⁰⁸ = p²⁰¹⁶≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2)

Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (trong hàm số bậc nhất)

Xem đáp án

Lời giải

- Tung độ là giá trị của hàm số tại một điểm trên trục tung. Nó thể hiện độ cao của điểm đó trên đồ thị. Tung độ được ký hiệu là y và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x), trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

- Hoành độ là giá trị của biến độc lập (thường là x) tại một điểm trên trục hoành. Nó thể hiện vị trí ngang của điểm đó trên đồ thị. Hoành độ được ký hiệu là x và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x) , trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

Câu 2

Giá trị nguyên là gì?

Xem đáp án

Lời giải

Giá trị nguyên là giá trị thuộc tập hợp số nguyên

Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.

Kí hiệu là: ℤ

Câu 3