Câu hỏi:
14/03/2025 44
Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn x3 + y3 + z3 chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.
Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn x3 + y3 + z3 chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)
Lại có:
x3 + y3 + z3 ⋮ 3
3(x +y )(y + z)(z + x) ⋮ 3
nên (x + y + z)3 ⋮ 3
⇒ x +y + z ⋮ 3
⇒ (x + y + z)3 ⋮ 27
Kết hợp với (*) và x3 + y3 + z3 ⋮ 27
⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 27
⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 9 (1)
+) Nếu cả 3 số x; y; z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm
+) Nếu 3 số x; y; z không cùng chia hết cho 3
Thấy rẳng nếu x; y; z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)
Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2
- Nếu trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x; y chia hết cho 3
Khi đó; x + y ⋮ 3; y + z ⋮̸ 3; z + x ⋮̸̸ 3
Để (1) đúng thì x + y ⋮ 9(đpcm)
- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y; z
Khi đó, x + y ⋮̸ 3; y + z ⋮ 3; z + x ⋮̸ 3
Để (1) đúng thì y + z ⋮ 9 (đpcm)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận