(1,5 điểm) Cho tam giác $ABC{\rm{ }}\left( {AB < AC} \right)$ vuông tại $A$ có đường cao $AH.$

a) Chứng minh rằng $\mathrm{\Delta ABC}\backsim \mathrm{\Delta HAC}.$

Xét $\Delta CHI$ và $\Delta CKB$, ta có:

$\widehat {CHI} = \widehat {CKB} = 90^\circ$ (gt)

$\widehat {HCI} = \widehat {KCB}$

Do đó, (g.g)

Suy ra $\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CB}}$.

Suy ra $CH.CB = CI.CK$.

Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DC$. Vì $I$ là trực tâm của $\Delta BDC$ nên $BI \bot DC$.

Xét $\Delta CMI$ và $\Delta CDK$, ta có: $\widehat {CMI} = \widehat {CKD} = 90^\circ$ (gt) và $\widehat {MCI} = \widehat {DCK}$ (gt)

Suy ra (g.g)

Suy ra $\frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CD}}$ nên $CD.CM = CI.CK$.

Mà từ phần b) ta có: $CH.CB = CI.CK$ suy ra $CH.CB = CI.CK = CD.CM.$

Chứng minh được (g.g) suy ra $DK.DB = DM.DC$.

Do đó, $CH.CB + DK.DB = CM.CD + DM.DC = DC\left( {MD + MC} \right) = D{C^2}$.