Câu 26-28: (1,5 điểm)Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (góc \(A\) nhọn). Vẽ \(AH \bot BC{\rm{ }}\left( {H \in BC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CH.\) Từ \(M\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(D.\)

a) Chứng minh \(\Delta DMC = \Delta DMH.\)

b) Do \(\Delta DMC = \Delta DMH\) (cmt) nên \(\widehat {DCM} = \widehat {DHM}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Do đó, \(\widehat {MHC} = \widehat {ABC}\left( { = \widehat {BCA}} \right)\).

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(HD\parallel AB\).

c) Ta có \(AH \bot BC{\rm{ }}\left( {H \in BC} \right)\) mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Mà \(HD\parallel AB\) nên \(HD\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Do đó, \(D\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(BD,AH\) là hai đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(G\).

Do đó, \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Xét \(\Delta ABG\) có: \(AG + BG > AB\) (bất đẳng thức tam giác).

Hay \(\frac{2}{3}\left( {AH + BD} \right) > AB\) nên \(AH + BD > \frac{3}{2}AB.\)