Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Lấy các điểm \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\] trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) sao cho số đo các cung bằng nhau. Đa giác \(ABCDEF\) có là đa giác đều không?

Ta có $\text{sđ\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{AB}=\text{sđ\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{BC}=\text{sđ\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{CD}=\text{sđ\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{DE}=\text{sđ\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{EF}=\text{sđ\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{FA}=\frac{360°}{6}=60°$.

Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) (vì

Vì tam giác \(AOB\) đều nên \(AB = R\) và \(\widehat {ABO} = 60^\circ .\)

Tương tự với tam giác \({\rm{BOC}}\) đều nên \(\widehat {OBC} = 60^\circ \) và \(BC = R.\)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ABO} + \widehat {OBC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \) và \(AB = BC = R\).

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác \(ABCD\) có:

\(AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.\;\)

Và các góc \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEF} = \widehat {EFA} = \widehat {FAB} = 120^\circ \).

Do đó \(ABCDEF\) là một đa giác đều.