Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 67 đến 69

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 4} \right)\).

Phương trình \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - 16} \right)\) có tập nghiệm là:      

Ta có \(g\left( x \right) = - {x^2} + f\left( x \right) \cdot \ln 1024 = - {x^2} + {\log _2}\left( {x + 4} \right) \cdot \ln 1024\).

Tập xác định: \(D = \left( { - 4; + \infty } \right)\).

\(g'\left( x \right) = - 2x + \frac{{\ln 1024}}{{\left( {x + 4} \right)\ln 2}} = - 2x + \frac{{10}}{{x + 4}}\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + \frac{{10}}{{x + 4}} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = - 5\,\,\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} g\left( x \right) = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = - \infty \), \(g\left( 1 \right) = - 1 + 10\ln 5\).

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\). Chọn C.  

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

                        \(x - 1 = {\log _2}\left( {x + 4} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 4} \right) - x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 4} \right) - x + 1 \Rightarrow h'\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x + 4} \right)\ln 2}} - 1\).

\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {x + 4} \right)\ln 2}} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\ln 2}} - 4\).

Mặt khác\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} h\left( x \right) = - \infty \),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = - \infty \),\(h\left( {\frac{1}{{\ln 2}} - 4} \right) \approx 4,086\).

Vây đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) luôn cắt trục \[Ox\] tại 2 điểm phân biệt nên phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt, tức là có 2 giao điểm của đường thẳng \(y = x - 1\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Chọn C.