Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 81 đến 83

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {5;\,3;\,4} \right),\,B\left( {1;\,2;\,1} \right),\,C\left( {8;\, - 3;\,2} \right)\).

Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là:     

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;\, - 1;\, - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {3;\, - 6;\, - 2} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \,\overrightarrow {AC} = \left( { - 4} \right) \cdot 3 + \left( { - 6} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 0\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Có \(AB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {26} ,\,AC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 7\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {26} \cdot 7 = \frac{{7\sqrt {26} }}{2}\). Chọn A.

Ta có \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {26} }}{7} \Rightarrow \overrightarrow {DB} = - \frac{{\sqrt {26} }}{7}\overrightarrow {DC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - a;\,2 - b;\,1 - c} \right) = - \frac{{\sqrt {26} }}{7}\left( {8 - a;\, - 3 - b;\,2 - c} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{7 + 8\sqrt {26} }}{{7 + \sqrt {26} }}\\b = \frac{{14 - 3\sqrt {26} }}{{7 + \sqrt {26} }}\\c = \frac{{7 + 2\sqrt {26} }}{{7 + \sqrt {26} }}\end{array} \right.\).

Vậy \(a + 2b + 3c = 8\). Chọn B.