Câu hỏi:

27/04/2025 279

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(3a\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng \(a\sqrt 3 \).

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {{\rm{SAB}}} \right)\) bằng

A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 27) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều và \(O\) là tâm của đáy nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

v (ảnh 1)

Ta có \(CD\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\) nên \(d\left( {SA,CD} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C,\,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 3 \).

Suy ra \(d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Chọn B.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

Thể tích của khối chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABCD}}\) bằng

A. \(2{a^3}\sqrt 3 \).

B. \(3{a^3}\sqrt 2 \).

C. \(\frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

D. \(\frac{{27{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO\).

Ta có \({S_{ABCD}} = AB \cdot AD = 3a \cdot 3a = 9{a^2}\).

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, từ O kẻ \(OK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\). Khi đó \(OK \bot \left( {SAB} \right)\).

Suy ra \(OK = d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(OM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 3a = \frac{{3a}}{2}\).

Tam giác SOM vuông tại O nên \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}}\).

Suy ra \(SO = \sqrt {\frac{1}{{\frac{1}{{O{K^2}}} - \frac{1}{{O{M^2}}}}}} = \sqrt {\frac{1}{{\frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{2}a} \right)}^2}}}}}} = \sqrt {\frac{9}{8}{a^2}} = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 9{a^2} \cdot \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} = \frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{4}\). Chọn C.

Câu 3:

Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) xấp xỉ bằng

A. \(70^\circ 29'\).

B. \(49^\circ 44'\).

C. \(19^\circ 31'\).

D. \(50^\circ 46'\).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Ta có \(OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông SOA ta có \(S{O^2} + {\rm{\;}}O{A^2} = S{A^2}\). Suy ra \(SA = \frac{{3a\sqrt {10} }}{4}\).

Tam giác vuông SMA nên \(\cos \widehat {SAM} = \frac{{AM}}{{SA}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{3a\sqrt {10} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {SAM} \approx 50^\circ 46'\).

Do \(CD\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\left( {SA,\,CD} \right) = \left( {SA,\,AB} \right) = \widehat {SAB} = \widehat {SAM}\). Chọn D.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 83 đến 84

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;\, - 1\,;\,1} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,3\,;\, - 1} \right)\), \(C\left( {5\,;\, - 3\,;\,4} \right)\).
Lấy điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó tọa độ điểm \(M\) là:

A. \(\left( {0;0\,;\,\frac{4}{3}} \right)\).

B. \(\left( {2;\frac{1}{3}\,;\,0} \right)\).

C. \(\left( {2; - \frac{1}{3}\,;\,0} \right)\).

D. \(\left( { - 2;\frac{1}{3}\,;\,0} \right)\).

Lời giải

Nhận thấy 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

Gọi \(G\)là trọng tâm của \(\Delta ABC\), khi đó tọa độ \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Ta có \({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\).

Vì \({\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\)không đổi nên \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(MG\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Với điểm \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) cố định và điểm \(M\) bất kì, \(M \in \left( {Oxy} \right)\).

Để \(MG\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra tọa độ \(M\left( {2; - \frac{1}{3}\,;\,0} \right)\). Chọn C.

Câu 2

Tính độ phóng xạ của liều thuốc tại thời điểm bệnh nhân sử dụng.

A. 1,15.10¹⁴ Bq.

B. 115.10¹⁴ Bq.

C. 1,15.10¹² Bq.

D. 1,15.10¹⁵ Bq.

Lời giải

Chọn A

Phản ứng hạt nhân \(_{53}^{131}{\rm{I}} \to _{54}^{131}{\rm{Xe}} + _{ - 1}^0{\rm{e}} + _0^0\widetilde {\rm{v}}\)

\({H_0} = \lambda {N_0} = \frac{{\ln 2}}{T}.\frac{m}{A}.{N_A} = \frac{{\ln 2}}{{8,02.86400}}.\frac{{{{25.10}^{ - 3}}}}{{131}}.6,{02.10^{23}} = 1,15 \cdot {10^{14}}\;{\rm{Bq}}.\)

Câu 3