Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({(7 - 3\sqrt 5 )^{{x^2}}} + m{(7 + \sqrt 5 )^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\) có đúng bốn nghiệm phân biệt.

Đáp án D

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right) = 49 - 45 = 4 \Rightarrow 7 + 3\sqrt 5 = \frac{4}{{7 - 3\sqrt 5 }}\).

\( \Rightarrow {(7 - 3\sqrt 5 )^{{x^2}}} + m{(7 + 3\sqrt 5 )^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + m{(7 + 3\sqrt 5 )^{{x^2}}} = \frac{1}{2}{.2^{{x^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2}}} - {2^{{x^2}}}.{(7 + 3\sqrt 5 )^2} + 2m{(7 + 3\sqrt 5 )^{2{x^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{2{x^2}}} - {\left( {\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + 2m = 0\) (*)

Đặt \({\left( {\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} = t = > {x^2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t\).

Ta có: \(0 < \frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} < 1 \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}{\rm{t}} > 0 \Leftrightarrow 0 < {\rm{t}} < 1\).

\( \Rightarrow (*) \Leftrightarrow 2{t^2} - t + 2m = 0\)

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(t \in \left( {0;1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} > 0}\\{af\left( 0 \right) > 0}\\{af\left( 1 \right) > 0}\\{0 < - \frac{b}{{2a}} < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 16m > 0}\\{4m > 0}\\{2\left( {2m + 1} \right) > 0}\\{0 < \frac{1}{2} < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \frac{1}{{16}}}\\{m > 0}\\{m > - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{{16}}} \right.} \right.} \right.\).