Số nghiệm của phương trình \(y = 28\) là          

Đáp án C

Hướng dẫn giải

\(y = 28 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{3{x^2} + 1}}{{3x}}} \right) + {3^{x + \frac{1}{{3x}}}} = 28\).

Đặt \({\rm{t}} = \frac{{3{x^2} + 1}}{{3x}} = x + \frac{1}{{3x}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( t \right) + {3^t}\).

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.{\rm{ln}}3}} + {3^t}.{\rm{ln}}3 > 0\)

Điều này cho thấy \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên miền xác định.

Do \(f\left( t \right)\) đồng biến, phương trình \(f\left( t \right) = 28\) chỉ có một nghiệm duy nhất với \(t = 3\).

\( \Leftrightarrow {\rm{t}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} + 1}}{{3x}} = 3\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{9 - \sqrt {69} }}{6}}\\{x = \frac{{9 + \sqrt {69} }}{6}}\end{array}} \right.\)

Mặc dù phương trình \(3{x^2} - 9x + 1 = 0\) có 2 nghiệm, nhưng \(f\left( t \right) = 28\) chỉ có một nghiệm duy nhất với \({\rm{t}} = 3\) do \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến. Điều này có nghĩa là cả hai giá trị của x (tương ứng với \({\rm{t}} = 3\)) đều là nghiệm của cùng một giá trị hàm y.