Câu hỏi:

09/05/2025 54

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2y({x^2} - {y^2}) = 3x\\x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10y\end{array} \right.\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

\[\left\{ \begin{array}{l}2y({x^2} - {y^2}) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

⦁ Xét trường hợp đặc biệt:

Nếu x = 0, từ phương trình (1) ta có 2y.(‒y²) = 0, suy ra y = 0.

Thay x = 0, y = 0 vào phương trình (2), ta được 0.0 = 0 (luôn đúng).

Như vậy, cặp số (0; 0) là một nghiệm của hệ.

⦁ Xét trường hợp xy ≠ 0.

Chia phương trình (1) cho phương trình (2), ta được:

\[\frac{{2y\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{{3x}}{{10y}}\]

20y²(x² ‒ y²) = 3x²(x² + y²)

20x²y² ‒ 20y⁴ = 3x⁴ + 3x²y²

3x⁴ ‒ 17x²y² + 20y⁴ = 0

3x⁴ – 12x²y² – 5x²y² + 20y⁴ = 0

3x²(x² – 4y²) – 5y²(x² – 4y²) = 0

(x² – 4y²)(3x² – 5y²) = 0

x² = 4y² hoặc \[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\]

+) Với x² = 4y², ta có x = 2y hoặc x = –2y

⦁ Thế x = 2y vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

2y[(2y)² + y²] = 10y

2y.5y² = 10y

10y³ = 10y

y³ – y = 0

y(y² ‒ 1) = 0

y = 0 (loại) hoặc y = 1 (thỏa mãn) hoặc y = ‒1 (thỏa mãn).

Khi y = 1, ta có x = 2.

Khi y = ‒1, ta có x = ‒2.

Do đó (2; 1), (‒2; ‒1) là các nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thế x = ‒2y vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

‒2y[(‒2y)² + y²] = 10y

‒2y.5y² = 10y

‒10y³ = 10y

y³ + y = 0

y(y² + 1) = 0

y = 0 (loại) và y² + 1 = 0 (vô lí).

Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.

+) Với \[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\], ta có \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] hoặc \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \].

⦁ Thế \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

\[y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( {y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]

\[y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]

\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} - 10y = 0\]

\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} - 5} \right) = 0\]

y = 0 (loại) hoặc \[{y^2} = \frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}\]

Suy ra: \[y = \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \] hoặc \[y = - \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \]

Khi \[y = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].

Khi \[y = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].

Do đó \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right);\,\,\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\] là hai nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thế \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

\[ - y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( { - y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]

\[ - y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]

\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} + 10y = 0\]

\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5} \right) = 0\]

y = 0 (loại) và \[\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5 = 0\] (vô lí).

Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là (0; 0), (2; 1), (‒2; ‒1), \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\], \[\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để trang trí lên một bức tường hình chữ nhật kích thước 3m ´ 4m trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm, vẽ một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác đều, đường parabol đó đi qua hai đầu mút của mỗi cạnh (tham khảo hình vẽ bên).

Hỏi bạn Hoa có thể vẽ tối đa bao nhiêu hình có cùng kích thước trên lên bức tường cần trang trí?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Xét parabol trên mặt phẳng Oxy có đỉnh I (0; 3) và cắt trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và

(1; 0).

Khi đó phương trình của parabol là y = -3x² + 3

Khi đó diện tích một cánh hoa là: \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| { - 3{x^2} + 3} \right|dx} \)= 4 (dm²)

Diện tích 1 hình lục giác đều cạnh bằng 2 dm là: \(6.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 \)

Khi đó diện tích của một hình là \(6\sqrt 2 + 6.4 = 24 + 6\sqrt 2 \) (dm²)

Diện tích của bức tường là: 3 ´ 4 = 12 (m²) = 1200 (dm²)

Bạn Hoa có thể vẽ tối đa số hình có cùng kích thước lên bức tường cần trang trí là:

\(\left[ {1200:(24 + 6\sqrt 2 } \right] = 34\)

Vậy bạn Hoa có thể vẽ tối đa 34 hình có cùng kích thước trên lên bức tường cần trang trí

Câu 2

Tính diện tích bông hoa được tô màu trong hình vẽ sau, biết hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 4 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Diện tích hình vuông là:

4 ´ 4 = 16 (cm²)

Diện tích 4 hình tròn nữa là:

4 ´ 3,14 ´ 2 = 25,12 (cm²)

Diện tích hình bông hoa là:

16 + 25,12 = 41,12 (cm²)

Đáp số: 41,12 cm²

Câu 3