Giải phương trình:

\[\sqrt {2x + 1}  + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  - \sqrt 2  = 0\].

Lời giải:

Điều kiện xác định: \(x \ge  - \frac{1}{2}.\)

\[\sqrt {2x + 1}  + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  - \sqrt 2  = 0\]

\[\left( {\sqrt {2x + 1}  - \sqrt 2 } \right) + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  = 0\]

\[\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {2x + 1}  + \sqrt 2 }} + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  = 0\]

\[\left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} } \right) = 0\]

\(2x - 1 = 0\) (1) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4}  = 0\] (2)

¬ Giải phương trình (1):

\(2x - 1 = 0\)

\(2x = 1\)

\(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

¬ Giải phương trình (2):

\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4}  = 0\]

\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} = \sqrt {{x^2} + 4} .\] (3)

Với \(x \ge  - \frac{1}{2}\) ta có:

⦁ \[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\frac{5}{2}}} = \frac{{4 + 5\sqrt 2 }}{{10}} < 2.\]

⦁ \[\sqrt {{x^2} + 4}  \ge \sqrt 4  = 2.\]

Do đó phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{1}{2}.\)