Giải phương trình:

\[\sqrt {3x - 2}  + \sqrt {x + 3}  = {x^3} + 3x - 1\].

Lời giải:

Điều kiện xác định: 3x ‒ 2 ≥ 0 và x + 3 ≥ 0, hay \[x \ge \frac{2}{3}\] và x ≥ ‒3, tức là \[x \ge \frac{2}{3}\].

\[\sqrt {3x - 2}  + \sqrt {x + 3}  = {x^3} + 3x - 1\]

\[\sqrt {3x - 2}  - 1 + \sqrt {x + 3}  - 2 = {x^3} + 3x - 4\]

\[\frac{{3x - 3}}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} - x - 4} \right) = 0\]

\(x - 1 = 0\) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} - x - 4 = 0\]

\(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} = x + 4\] (*)

Xét phương trình (*): Với \[x \ge \frac{2}{3}\] ta có

⦁ \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} \le \frac{1}{1} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{3} + 3}  + 2}} = 7 - \sqrt {33}  < 2\]

⦁ \(x + 4 \ge \frac{2}{3} + 4 > 4.\)

Do đó phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1.\)