Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\] với xy ≥ 2.

Lời giải:

Đặt \[A = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\]\[ = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} + xy\]

Đặt x = a; \[\frac{y}{2} = b\] suy ra \[ab = \frac{{xy}}{2} \ge 1\]

\[A = \frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + 2ab\]

\[A \ge \frac{1}{{ab + {a^2}}} + \frac{1}{{ab + {b^2}}} + 2ab\]

\[ = \frac{1}{{a\left( {a + b} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]

\[ = \frac{{a + b}}{{ab\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]

\[ = \frac{1}{{ab}} + 2ab = \frac{1}{{ab}} + ab + ab \ge 2 + 1 = 3\]

(Vì \[\frac{1}{{ab}} + ab \ge 2\] với mọi a.b ≥ 1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.