Câu hỏi:
09/05/2025 33
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\] với xy ≥ 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\] với xy ≥ 2.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Đặt \[A = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\]\[ = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} + xy\]
Đặt x = a; \[\frac{y}{2} = b\] suy ra \[ab = \frac{{xy}}{2} \ge 1\]
\[A = \frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + 2ab\]
\[A \ge \frac{1}{{ab + {a^2}}} + \frac{1}{{ab + {b^2}}} + 2ab\]
\[ = \frac{1}{{a\left( {a + b} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]
\[ = \frac{{a + b}}{{ab\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]
\[ = \frac{1}{{ab}} + 2ab = \frac{1}{{ab}} + ab + ab \ge 2 + 1 = 3\]
(Vì \[\frac{1}{{ab}} + ab \ge 2\] với mọi a.b ≥ 1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 4:
Tìm x, biết:
\[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2023}}{{2025}}.\]
Tìm x, biết:
\[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2023}}{{2025}}.\]
Xem đáp án »
09/05/2025
48
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận