Tính nhanh:

\[\frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + 3 + 4 + ...2020}}\].

Lời giải:

Đặt S = 1 + 2 + ...+ n.

Số số hạng của dãy số trên là: (n ‒ 1) : 1 + 1 = n

Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều ta có tổng trên là:

S = (n + 1) × n : 2.

Áp dụng công thức tính tổng S trên vào biểu thức A ta có:

\[A = \frac{1}{{\left( {2 + 1} \right) \times 2:2}} + \frac{1}{{\left( {3 + 1} \right) \times 3:2}} + ... + \frac{1}{{\left( {2020 + 1} \right) \times 2020:2}}\]

\[ = \frac{1}{{2 \times 3:2}} + \frac{1}{{3 \times 4:2}} + \frac{1}{{4 \times 5:2}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021:2}}\]

\[ = \frac{2}{{2 \times 3}} + \frac{2}{{3 \times 4}} + \frac{2}{{4 \times 5}} + ... + \frac{2}{{2020 \times 2021}}\]

\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021}}} \right)\]

\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]

\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]

\[ = 1 - \frac{2}{{2021}}\]

\[ = \frac{{2021 - 2}}{{2021}} = \frac{{2019}}{{2021}}.\]