Tìm x, y, z sao cho: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\].

Lời giải:

Xét \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\] (*) 

Giả sử: x ≥ y ≥ z > 0

Suy ra \[\frac{1}{x} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{z}\]

\[1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{z} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z} = \frac{3}{z}\], suy ra z ≤ 3, suy ra z ∈ {1; 2; 3}.

¬ Với z = 1 suy ra \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0\] vô lý vì x, y ∈ ℕ* 

¬ Với z = 2 suy ra \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\]

Ta có \[\frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{2}{y}\], suy ra y ≤ 4, suy ra y ∈ {2; 3; 4} (vì y ≥ z).

   ⦁ y = 2 suy ra \[\frac{1}{x} = 0\] vô lý (loại);

   ⦁ y = 3 suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\] hay x = 6;

   ⦁ y = 4 suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\] hay x = 4.

¬ Với z = 3 suy ra \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

Ta có \[\frac{2}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{2}{y}\] hay y ≤ 3, suy ra y = 3 (vì y ≥ z), suy ra x = 3.

Vậy (*) có nghiệm (6; 3; 2), (4; 4; 2), (3; 3; 3) và các hoán vị của các bộ 3 trên.