Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + xy = {y^2} - 3y + 2\\{x^2} - {y^2} = 3\end{array} \right.\].

Lời giải:

Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + xy = {y^2} - 3y + 2\left( 1 \right)\\{x^2} - {y^2} = 3\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1):

2x² + xy = y² ‒ 3y + 2

2x² + xy ‒ y² + 3y ‒ 2 = 0

2x(x + y ‒ 1) ‒ y(x + y ‒ 1) + 2(x + y ‒ 1) = 0 

(x + y ‒ 1)(2x ‒ y + 2) = 0

Suy ra x + y – 1 = 0 hoặc 2x ‒ y + 2 = 0.

⦁ Với x + y = 1.

Từ (2) suy ra (x ‒ y)(x + y) = 3.

Thay x + y = 1 vào (*) ta suy ra: x ‒ y = 3.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\) 

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1.\end{array} \right.\]

⦁ Với 2x ‒ y + 2 = 0, suy ra y = 2x + 2, thay vào (2) ta được:

x² – (2x + 2)² = 3

x² – 4x² – 8x – 4 = 3

3x² + 8x + 7 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 4² – 3.7 = –5 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; –1).