Giải phương trình:

\[4{x^3} + 5{x^2} + 1 = \sqrt {3x + 1}  - 3x\].

Lời giải:

Điều kiện \[x \ge  - \frac{1}{3}\].

\[4{x^3} + 5{x^2} + 1 = \sqrt {3x + 1}  - 3x\]

\[4{x^3} + 5{x^2} + 1 - \sqrt {3x + 1}  + 3x = 0\]

\[4{x^3} + 5{x^2} + x + \left( {2x + 1} \right) - \sqrt {3x + 1}  = 0\]

\[4{x^3} + 5{x^2} + x + \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right) + \sqrt {3x + 1} }} = 0\]

\[\left( {4{x^2} + x} \right)\left( {x + 1} \right) + \frac{{4{x^2} + x}}{{\left( {2x + 1} \right) + \sqrt {3x + 1} }} = 0\]

\[\left( {4{x^2} + x} \right)\left[ {x + 1 + \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right) + \sqrt {3x + 1} }}} \right] = 0\left(  *  \right)\]

Với \[x \ge  - \frac{1}{3}\] thì \[\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right) + \sqrt {3x + 1} }} > 0\]

Từ (*) suy ra 4x² + x = 0

x(4x + 1) = 0

x = 0 hoặc \[x =  - \frac{1}{4}\]

Vậy X = 0 hoặc \[x =  - \frac{1}{4}\].