Câu hỏi:
09/05/2025 10
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}4xy + 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{85}}{3}\\2x + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}4xy + 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{85}}{3}\\2x + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a \ne 0\\x - y = b\end{array} \right.\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {a^2}\\{\left( {x - y} \right)^2} = {b^2}\end{array} \right.\) hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + {y^2} = {a^2}\\{x^2} - 2xy + {y^2} = {b^2}\end{array} \right.\]
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}4xy = {a^2} - {b^2}\\2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {a^2} + {b^2}\end{array} \right.\]
Từ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\x - y = b\end{array} \right.\) suy ra 2x = a + b.
Hệ phương trình đã cho trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{{85}}{3}\\a + b + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3{a^2} + {b^2} + \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{{85}}{3}\\a + b + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3\left( {{a^2} + 2 + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + {b^2} = \frac{{85}}{3} + 6\\a + b + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + {b^2} = \frac{{103}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\a + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3} - b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Thay (2) vào (1) ta được:
\[3{\left( {\frac{{13}}{3} - b} \right)^2} + {b^2} = \frac{{103}}{3}\]
\(3\left( {\frac{{169}}{9} - \frac{{26}}{3}b + {b^2}} \right) + {b^2} = \frac{{103}}{3}\)
\(169 - 78b + 9{b^2} + 3{b^2} = 103\)
\[12{b^2} - 78b + 66 = 0\]
\(b = 1\) hoặc \(b = \frac{{11}}{2}\)
¬ Với \(b = 1,\) thay vào (2) ta có: \[a + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3} - 1 = \frac{{10}}{3}\]
Suy ra \(3{a^2} - 10a + 3 = 0\)
\(a = 3\) (thỏa mãn) hoặc \(a = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).
Khi đó, ta có:
⦁ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x - y = 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)
⦁ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{1}{3}\\x - y = 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = - \frac{1}{3}.\end{array} \right.\)
¬ Với \(b = \frac{{11}}{2},\) thay vào (2) ta có: \[a + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3} - \frac{{11}}{2} = - \frac{7}{6}.\]
Suy ra \(6{a^2} + 7a + 6 = 0\) (phương trình vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;\,\,1} \right);\,\,\left( {\frac{2}{3};\,\, - \frac{1}{3}} \right)} \right\}.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho \[Q = \left( {\frac{{2x - {x^2}}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8}}} \right)\left( {\frac{2}{{{x^2}}} + \frac{{1 - x}}{x}} \right)\].
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Cho \[Q = \left( {\frac{{2x - {x^2}}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8}}} \right)\left( {\frac{2}{{{x^2}}} + \frac{{1 - x}}{x}} \right)\].
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Xem đáp án »
09/05/2025
12
Câu 3:
Tìm x, y, z biết: \[\frac{{2x}}{3} = \frac{{3y}}{4} = \frac{{4z}}{5}\] và x + y + z = 49.
Tìm x, y, z biết: \[\frac{{2x}}{3} = \frac{{3y}}{4} = \frac{{4z}}{5}\] và x + y + z = 49.
Xem đáp án »
09/05/2025
12
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận