Cho dãy số (un) với u1 = 2; un + 1 = \({u_n} + \frac{2}{{{3^n}}}\), n ³ 1. Đặt vn = un + 1 – un.

a) \({u_2} = \frac{{20}}{9}\).

b) \({v_2} = \frac{2}{9}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 2\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3\).

Tìm tổng \(S = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} - ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{3^n}}} + ...\).

Tìm giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}}\).

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 4.3n – 7n + 1 ; vn = 7n.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = 0\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} =  + \infty \).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \frac{8}{{19}}\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \).

Cho hai dãy số (un) và (vn) có un = 4n2 – n + 3; vn = 3n2 + 7.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{4}{3}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{{\left( {{v_n}} \right)}^2}}} = \frac{4}{9}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( {{u_n}} \right)}^2}}}{{{v_n}}} = \frac{{16}}{3}\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n} + a{n^2} + 7}}{{{v_n}}} = 8\) khi đó a = 20.

Cho các dãy số (un), (vn) với \({u_n} = \sqrt {4{n^2} + 5n + 1} \) và vn = 2n + 1.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} =  - \infty \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 0\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \frac{1}{4}\).