Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555… = 3,1(5) viết dưới dạng hữu tỉ là 

Ta có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 3n} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{2{n^2}\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{1}{2}\).

Trả lời: 0,5.

Ta nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{3}\), công bội \(q = - \frac{1}{3}\)

Vì vậy \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 0,25\).

Trả lời: 0,25.