Câu hỏi:

30/05/2025 39

Cho hai dãy số (un) và (vn) có un = 4n2 – n + 3; vn = 3n2 + 7.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{4}{3}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{{\left( {{v_n}} \right)}^2}}} = \frac{4}{9}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( {{u_n}} \right)}^2}}}{{{v_n}}} = \frac{{16}}{3}\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n} + a{n^2} + 7}}{{{v_n}}} = 8\) khi đó a = 20.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} - n + 3}}{{3{n^2} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{4}{3}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{{\left( {{v_n}} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} - n + 3}}{{{{\left( {3{n^2} + 7} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^4}{{\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{{n^2}}}.\frac{{\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{{\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}} \right] = 0\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {{u_n}} \right)}^2}}}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {4{n^2} - n + 3} \right)}^2}}}{{3{n^2} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^4}{{\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {{n^2}.\frac{{{{\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}{{\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}}} \right] = + \infty \).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} + a{n^2} + 7}}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} - n + 3 + a{n^2} + 7}}{{3{n^2} + 7}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {a + 4} \right){n^2} - n + 10}}{{3{n^2} + 7}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left[ {\left( {a + 4} \right) - \frac{1}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}} \right]}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {a + 4} \right) - \frac{1}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}}}{{3 + \frac{7}{{{n^2}}}}} = \frac{{a + 4}}{3}\).

Khi đó \(\frac{{a + 4}}{3} = 8 \Leftrightarrow a = 20\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n  +  1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n  +  1}}}}{\rm{ +  }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}\] bằng: 

Lời giải

B

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}} - {\rm{10}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{10}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{10}}\].

Lời giải

Nếu cạnh hình vuông ban đầu là x thì theo định lí Pythagore, ta có cạnh hình vuông thứ hai là \(\sqrt {{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\) (*).

Gọi cạnh hình vuông ABCD là u1 = 1, từ (*) ta có cạnh hình vuông thứ hai là \({u_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), cạnh hình vuông thứ ba là \({u_3} = \frac{1}{2}\), cạnh hình vuông thứ tư là \({u_4} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\), …

Xét tổng chu vi dãy các hình vuông là

S =4u1 + 4u2 + 4u3 + … = \(4\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} + ....} \right)\).

Ta thấy \(1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} + ....\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 1, công bội bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(S = 4.\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4.\frac{1}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 8 + 4\sqrt 2 \approx 13,7\).

Trả lời: 13,7.

Câu 3

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555… = 3,1(5) viết dưới dạng hữu tỉ là 

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay