Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;\,2;\,5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 6 = 0\).

a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là\(x + 2y + 2z + 15 = 0\).

c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) đi qua hai điểm \(O\) và \(A\) đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x - y = 0\).

d) Điểm \(M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right) \in \left( \alpha \right)\) sao cho \(A,O,M\) thẳng hàng. Khi đó \(5a + 10b + c = 12\).

Theo định nghĩa vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \[{\vec n_{\left( \beta  \right)}} = \left( {1;2;2} \right)\].

Do đó, \(\left( \beta  \right)\) có phương trình: \(x - 1 + 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 15 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) đi qua hai điểm \(O\) và \(A\) đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên

\[\left\{ \begin{array}{l}{{\vec n}_{\left( \gamma  \right)}} \bot \overrightarrow {OA}  = \left( {1;2;5} \right)\\{{\vec n}_{\left( \gamma  \right)}} \bot \overrightarrow n  = \left( {1;2;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_{\left( \gamma  \right)}} = \left[ {\overrightarrow {OA} \,,\,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 6;3;0} \right) =  - 3\left( {2; - 1;0} \right)\].

Do đó \(\left( \gamma  \right)\) có phương trình: \(2x - y = 0\).

Do \(M \in \left( \alpha  \right):x = 6 - 2y - 2z \Rightarrow M\left( {6 - 2b - 2c;b;c} \right);\,\,a = 6 - 2b - 2c\).

Vì \(A,O,M\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {OM} \) cùng phương \(\overrightarrow {OA} \).

Mà \(\overrightarrow {OM}  = \left( {6 - 2b - 2c;b;c} \right);\,\,\overrightarrow {OA}  = \left( {1;2;5} \right)\). Suy ra \(\frac{{6 - 2b - 2c}}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{4}{5}\\c = 2.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{2}{5};\frac{4}{5};2} \right) \Rightarrow 5a + 10b + c = 2 + 8 + 2 = 12\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,         c) Đúng,      d) Đúng.