Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\;\;\;\;\;\;khi\;\;x > 2\\ax + 2024\;khi\;\;x \le 2\end{array} \right.\).

a) f(2) = 0.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 4\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = - 4\).

d) a = −1010 thì hàm số f(x) có giới hạn khi x → 2.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  - x}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{ - 1 - 1}} =  - \frac{3}{2}\].

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + ax + 2} \right) = a + 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2{x^2} - x + 3a} \right) = 3a + 1\).

Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) Û a + 3 = 3a + 1 Û a = 1.

Trả lời: 1.