Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}\;khi\;x > 2\\mx + 8\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 2\end{array} \right.\) (m là tham số).

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

b) Hàm số liên tục tại x = 7 với mọi m.

c) Hàm số không liên tục tại x = 0 với mọi m.

d) Hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀ = 2 khi m = −12.

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

b) Ta có \(f\left( 7 \right) = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2}  - 2}} =  - 45\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}} = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2}  - 2}} =  - 45 = f\left( 7 \right)\).

Suy ra hàm số liên tục tại x = 7 với mọi m.

c) Ta có f(0) = m.0 + 8 = 8.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {mx + 8} \right) = 2.0 + 8 = 8 = f\left( 2 \right)\).

Suy ra hàm số liên tục tại x = 0 với mọi m.

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {4 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {\left( { - x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)} \right]\)

\( = \left( { - 2 - 2} \right)\left( {\sqrt {2 + 2}  + 2} \right) =  - 16\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx + 8} \right) = 2m + 8 = f\left( 2 \right)\).

Do đó để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) Û 2m + 8 = −16

Û m = −12.

Vậy m = −12 thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 2.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.