Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]

a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.

b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]

c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].

a) Tứ giác \[AHBD\] có \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[HD\] nên là hình bình hành. Do \[AH\] là đường cao của \[\Delta ABC\] nên \[AH \bot BC\], suy ra \[\widehat {AHB} = 90^\circ \]. Hình bình hành \[AHBD\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \] nên \[AHBD\] là hình chữ nhật.

Tương tự, tứ giác \[AHCE\] có \[N\] là trung điểm của \[AC\] và \[HE\] nên là hình bình hành.

Lại có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \] nên \[AHCE\] là hình chữ nhật.

Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (chứng minh trên).

Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \].

Tứ giác \[BCED\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[BCED\] là hình chữ nhật.

b) Do \[BCED\] là hình chữ nhật (câu a) nên \[CD = BE\].

Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (câu a) nên \[AB = DH,{\rm{ }}AC = HE\].

Mà \[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) nên \[DH = HE\].

c) Vì \[ADBH,{\rm{ }}AECH\] là các hình chữ nhật nên \[AD = BH,{\rm{ }}AE = HC,{\rm{ }}AD{\rm{ // }}BC,{\rm{ }}AE{\rm{ // }}BC\].

Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \[H\] là trung điểm của \[BC\], suy ra \[BH = HC\].

Từ đó, \[AD = BH = HC = AE\].

Tứ giác \[ADHC\] có: \[AD{\rm{ // }}HC,{\rm{ }}AD = HC\] nên \[ADHC\] là hình bình hành.

Tứ giác \[ABHE\] có: \[AE{\rm{ // }}BH,{\rm{ }}AE = BH\] nên \[ABHE\] là hình bình hành.

Vì \[ADHC\] là hình bình hành nên \[CD\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].

Vì \[AEHB\] là hình bình hành nên \[BE\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].

Vậy giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].