Trên một nóc nhà có một cột anten cao 5 m. Từ hai vị trí quan sát A và B cách nhau 22 m, người ta có thể nhìn thấy đỉnh của cột anten một góc 47° và 30° so với phương nằm ngang (như hình vẽ).

 

Khi đó, xác định tính đúng sai:

a) \[\widehat {MNA} = 43^\circ \].

b) \[\widehat {ANB} = 60^\circ \].

c) Khoảng cách từ đỉnh cột anten đến vị trí B không quá 56 m.

d) Chiều cao của ngôi nhà là 25 m.

a) Đúng.

Xét tam giác AMN vuông tại M có:

\[\widehat {MNA} = 90^\circ  - \widehat {MAN} = 90^\circ  - 47^\circ  = 43^\circ .\]

b) Sai.

Xét tam giác MBN vuông tại M có:

\[\widehat {MNB} = 90^\circ  - \widehat {MBN} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \]

Ta có: \[\widehat {ANB} = \widehat {BNM} - \widehat {ANM} = 60^\circ  - 43^\circ  = 17^\circ .\]

c) Đúng.

Ta có: \[\widehat {NAB} = 180^\circ  - \widehat {MAN} = 180^\circ  - 47^\circ  = 133.\]

Xét tam giác NAB có \[\frac{{NB}}{{\sin \widehat {NAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ANB}}}\]

Suy ra \[NB = \frac{{22\sin 133^\circ }}{{\sin 17^\circ }} \approx 55\] (m)

d) Sai.

Xét tam giác BMN vuông tại M có:

\[\sin \widehat {MBN} = \frac{{MN}}{{AB}}\]

Suy ra \[MN = NB\sin \widehat {MBN} = 55\sin 30^\circ  = 27,5\] (m).

Chiều cao của ngôi nhà là:

27,5 ‒ 5 = 22,5 (m).