Cho biểu thức \(A = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(B = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\) với \(x \ne 1.\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = - 2.\)

b) Tìm biểu thức \(C\) biết \(A = B + C\).

c) Chứng minh giá trị của biểu thức \(C\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \ne 0,x \ne 1.\)

Ta có \(A = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(B = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\) với \(x \ne 0,x \ne 1.\)

a) Thay \(x = - 2\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta được:

\[A = \frac{4}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 2} \right) + 1}} = \frac{4}{{4 - 2 + 1}} = \frac{4}{3}.\]

b) Ta có \(A = B + C\) nên \(C = A - B\)

\(C = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} - \left( {\frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}} - \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\)

\( = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{{2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 4x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4x - 4 + 2{x^2} + 2x + 2 - 2{x^2} - 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}}\)

Vậy với \(x \ne 1\) ta có \(C = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}}.\)

c) Với \(x \ne 1\) ta có \[C = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{2}{{{x^2} + 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}\].

Mà \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\), do đó \[C = \frac{2}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\] với mọi \(x \ne 1.\)