Cho biểu thức \(A = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(B = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\) với \(x \ne 1.\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = - 2.\)

b) Tìm biểu thức \(C\) biết \(A = B + C\).

c) Chứng minh giá trị của biểu thức \(C\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \ne 0,x \ne 1.\)

\[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)

a) Với \(x \ne 1\) ta có:

\[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\]

\[ = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\]

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + x\left( {x - 1} \right) - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + {x^2} - x - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\).

Vậy với \(x \ne 1\) thì \(P = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}.\)

b) Với \(x = 2\) (thỏa mãn) thay vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = \frac{{2 \cdot 2}}{{{2^2} + 2 + 1}} = \frac{4}{7}.\)

c) Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:

⦁ \(2x > 0;\)

⦁ \({x^2} + x + 1 = {x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.\)

Do đó \(P = \frac{{2x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\) với mọi \(x > 0,x \ne 1\).

a) Vì góc ngoài tại đỉnh \(K\) của tứ giác \(IKLR\) có số đo là \(100^\circ \) nên \(\widehat {IKL} = 180^\circ  - 100^\circ  = 80^\circ \).

Góc ngoài tại đỉnh \(L\) của tứ giác \(IKLR\) có số đo là \(60^\circ \) nên \(\widehat {KLR} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \).

Ta có tổng các góc trong tứ giác \(IKLR\) là \(360^\circ \) nên \(\widehat {IKL} + \widehat {KLR} + \widehat {R\,} + \widehat {I\,} = 360^\circ \)

Suy ra \(80^\circ  + 120^\circ  + 90^\circ  + x = 360^\circ \)

Do đó \(x = 70^\circ \).

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) suy ra \(B{C^2} = A{C^2} - A{B^2} = {12^2} - {9^2} = 144 - 81 = 63\)

Suy ra \(BC = \sqrt {63} \) (km).

Chi phí làm đường ống từ \(C\) tới điểm \(B\) của công ty trên bằng tiền VNĐ là:

\(\sqrt {63}  \cdot 5\,\,000 \cdot 24\,\,300 \approx 964\,\,376\,\,352,9\) (VNĐ) \( \approx 964\,\,376\,\,000\) (VNĐ).