5.1. Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D\). Tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) ở \(E;\) \(BD\) và \(CE\) cắt nhau ở \(M.\) Hỏi số đo \(\widehat {EMD}\) bằng bao nhiêu độ?

     5.2. Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Lấy điểm \(D\) trên cạnh \(AC\), điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(BD = CE\).

     a) Chứng minh \(AD = AE\) và \(\Delta ABE = \Delta ACD\).

     b) Chứng minh \[\Delta ABI = \Delta ACI\], từ đó suy ra \[AI\] là đường phân giác của góc \[BAC\].

     c) Tìm vị trí của hai điểm \[D\] và \[E\] sao cho \[BD = DE = EC\]. Khi đó tìm vị trí của điểm \(I.\)

5.1.

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 120\).

Suy ra \({B_2} + {C_1} = 120^\circ :2 = 60^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_2}} + \widehat {BMD} = 180\) do đó \(\widehat {BMD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Vậy \(\widehat {BMD} = 120^\circ \).

5.2.

a) Ta có \[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) và

\[BD = CE\] (giả thiết)

Suy ra \(AB - BD = AC - CE\) hay \(AD = AE\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\[AB = AC\] (chứng minh trên);

\(\widehat {BAC}\) là góc chung;

\[AD = AE\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta ABE = \Delta ACD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\].

b) Từ \[\Delta ABE = \Delta ACD\] suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\)

Tam giác \[IBC\] có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).

Do đó \[IB = IC\].

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:

\[AB = AC\] (chứng minh trên);

\[AI\] là cạnh chung;

\[IB = IC\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta ABI = \Delta ACI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\]

Suy ra \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).

Nên \[AI\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

c) Xét \(\Delta ADE\) có \[AD = AE\] nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\), do đó \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\).

Mà \(\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Tương tự với \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).

Suy ra \(\widehat {DEB} = \widehat {EBC}\) (hai góc so le trong)            (3)

\(\Delta BDE\) có \[BD = DE\] nên là tam giác cân tại \(D\), suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)        

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {EBC}\)

Khi đó \[BE\] là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Tương tự, với \[DE = EC\] ta cũng chứng minh được \[CD\] là đường phân giác của \(\widehat {ACB}\)

Xét \(\Delta ABC\) có \[BE,CD\] là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).

Vậy để \[BD = DE = EC\] thì \[BE\] và \[CD\] là hai đường phân giác của \(\Delta ABC\), khi đó \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).