Câu hỏi:

30/06/2025 44 Lưu

Cho \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) (\(A \ne O\)). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA = OB\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OA\), cắt \(Oy\) tại \(E\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OB\), cắt \(Ox\) tại \(F\).

     a) Chứng minh \(\Delta OAE = \Delta OBF\), từ đó suy ra \(OE = OF\).

     b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF\). So sánh \(EM\) và \(\frac{{EI + IF}}{2}.\)

     c) Chứng minh ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) (\(A \ne O\)). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA = OB\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OA\), cắt \(Oy\) tại \(E\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OB\), cắt \(Ox\) tại \(F\). 	a) Chứng minh \(\Delta OAE = \Delta OBF\), từ đó suy ra \(OE = OF\). 	b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF\). So sánh \(EM\) và \(\frac{{EI + IF}}{2}.\) 	c) Chứng minh ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta OAE\)\(\Delta OBF\), có:

\(\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ \)

\(OA = OB\) (giả thiết)

\(\widehat {AOB}\) là góc chung

Do đó, \(\Delta OAE = \Delta OBF\) (cgv – gn)

Suy ra \(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta EIF\), ta được: \(EF < EI + IF\).

\(2EM = EF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\))

Suy ra \(2EM < EI + IF.\)

Vậy \(EM < \frac{{EI + IF}}{2}.\)

c) Xét \(\Delta EOF\) có hai đường cao \(FB\)\(AE\) cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của \(\Delta OEF.\)

Do đó, \(OI \bot EF\) (1)

Xét \(\Delta OEM\)\(\Delta OFM\), có:

\(OM\) là cạnh chung

\(ME = MF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\))

\(OE = OF\) (câu a)

Do đó, \(\Delta OEM = \Delta OFM\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {OME} = \widehat {OMF}\) (hai góc tương ứng)

\(\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó, \(\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ \) hay \(OM \bot EF\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O,I,M\) thẳng hàng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Mật mã két sắt nhà Trang là số có ba chữ số và được tạo thành từ các chữ số \(1,2,3\).

Do đó, số các số được lập thành từ ba chữ số \(1,2,3\)\(3.3.3 = 27\).

Mà mật mã két sắt chỉ có một.

Suy ra xác suất để mẹ Trang mở một lần đúng được mật mã là: \(\frac{1}{{27}}.\)

Lời giải

2.1. Thay \(x =  - 1,y = 3\) vào biểu thức \(B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}\), ta được:

            \(B = 3.{\left( { - 1} \right)^2}.3 + 6{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2} = 36\).

 Vậy giá trị của biểu thức \(B = 36\).

2.2. a) \(A\left( x \right) =  - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 3 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\)

             \( = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \right){x^4} + \left( { - \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right){x^2} + \left( {2 + 4} \right)x - 3\)

              \( = {x^4} - 4{x^2} + 6x - 3\).

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.

c) \(B\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\)

            \( = {x^4} - 2{x^2} - {x^2} + 2\)

            \( = {x^4} - 3{x^2} + 2\).

Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\)

Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)

                     \( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6x - 3} \right)\)

                     \( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - {x^4} + 4{x^2} - 6x + 3\)

                     \( = {x^2} - 6x + 5\).

d) Ta có:

• \(B\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\).

Do đó \(x =  - 1\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

• \(C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12\).

Do đó \(x =  - 1\) không là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).