Cho \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) (\(A \ne O\)). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA = OB\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OA\), cắt \(Oy\) tại \(E\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OB\), cắt \(Ox\) tại \(F\).

     a) Chứng minh \(\Delta OAE = \Delta OBF\), từ đó suy ra \(OE = OF\).

     b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF\). So sánh \(EM\) và \(\frac{{EI + IF}}{2}.\)

     c) Chứng minh ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

2.1. Thay \(x =  - 1,y = 3\) vào biểu thức \(B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}\), ta được:

            \(B = 3.{\left( { - 1} \right)^2}.3 + 6{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2} = 36\).

 Vậy giá trị của biểu thức \(B = 36\).

2.2. a) \(A\left( x \right) =  - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 3 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\)

             \( = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \right){x^4} + \left( { - \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right){x^2} + \left( {2 + 4} \right)x - 3\)

              \( = {x^4} - 4{x^2} + 6x - 3\).

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.

c) \(B\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\)

            \( = {x^4} - 2{x^2} - {x^2} + 2\)

            \( = {x^4} - 3{x^2} + 2\).

Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\)

Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)

                     \( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6x - 3} \right)\)

                     \( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - {x^4} + 4{x^2} - 6x + 3\)

                     \( = {x^2} - 6x + 5\).

d) Ta có:

• \(B\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\).

Do đó \(x =  - 1\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

• \(C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12\).

Do đó \(x =  - 1\) không là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

\(M = \left\{ {5;6;7;....;23;24} \right\}\).

Do đó, có 20 kết quả có thể xảy ra.

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(N\) là: \(5;7;9;....;21;23.\)

Do đó, có \(\left( {23 - 5} \right):2 + 1 = 10\) kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố \(N\) là \(\frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\).

c) Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(P\) là: \(6;8;12;16;24\).

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố \(P\) là \(\frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}.\)