Cho \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) (\(A \ne O\)). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA = OB\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OA\), cắt \(Oy\) tại \(E\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OB\), cắt \(Ox\) tại \(F\).

     a) Chứng minh \(\Delta OAE = \Delta OBF\), từ đó suy ra \(OE = OF\).

     b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF\). So sánh \(EM\) và \(\frac{{EI + IF}}{2}.\)

     c) Chứng minh ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

Mật mã két sắt nhà Trang là số có ba chữ số và được tạo thành từ các chữ số \(1,2,3\).

Do đó, số các số được lập thành từ ba chữ số \(1,2,3\) là \(3.3.3 = 27\).

Mà mật mã két sắt chỉ có một.

Suy ra xác suất để mẹ Trang mở một lần đúng được mật mã là: \(\frac{1}{{27}}.\)

2.1. Thay \(x =  - 1,y = 3\) vào biểu thức \(B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}\), ta được:

            \(B = 3.{\left( { - 1} \right)^2}.3 + 6{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2} = 36\).

 Vậy giá trị của biểu thức \(B = 36\).

2.2. a) \(A\left( x \right) =  - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 3 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\)

             \( = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \right){x^4} + \left( { - \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right){x^2} + \left( {2 + 4} \right)x - 3\)

              \( = {x^4} - 4{x^2} + 6x - 3\).

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.

c) \(B\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\)

            \( = {x^4} - 2{x^2} - {x^2} + 2\)

            \( = {x^4} - 3{x^2} + 2\).

Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\)

Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)

                     \( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6x - 3} \right)\)

                     \( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - {x^4} + 4{x^2} - 6x + 3\)

                     \( = {x^2} - 6x + 5\).

d) Ta có:

• \(B\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\).

Do đó \(x =  - 1\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

• \(C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12\).

Do đó \(x =  - 1\) không là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).