Bạn Hạnh tung đồng xu một số lần liên tiếp. Biết xác suất hiện mặt sấp là \(\frac{4}{9}\) và tích của số lần xuấ hiện mặt sấp với số lần xuất hiện mặt ngửa là \(500\). Hỏi bạn Hạnh đã tung đồng xu bao nhiêu lần?

a) Biến cố chắc chắn là biến cố \(M\): “Tổng các số ghi trên hai quả bóng lớn hơn 2”, vì hai số nhỏ nhất ghi trên mỗi quả bóng lấy từ hai hộp lần lượt là \(1\) và \(2\) nên tổng các số gho trên hai quả bóng nhỏ nhất là \(3\), chắc chắn lớn hơn \(2.\)

Biến cố không thể là biến cố \(P\): “Chênh lệch giữa hai số ghi trên hai quả bóng bằng 10”. Vì chênh lệch lớn nhất giữa hai số lấy được trên mỗi quả bóng từ hai hộp là 9, khi hộp \(A\) lấy được số 1 và hộp \(B\) lấy được số \(10\).

b) Trong năm quả bóng từ hộp \(A\) ghi các số \(1;3;5;7;9\) có ba số nguyên tố là \(3;5;7\).

Do đó, xác suất của biến cố \(Q\) là \(\frac{3}{5}.\)

c) Trong năm quả bóng từ hộp \(B\) ghi các số \(2;4;6;8;10\) có các số là ước của \(16\) là: \(2;4;8\).

Do đó, xác suất của biến cố \(P\) là \(\frac{3}{5}.\)

2.1. Thay \(x = 1,y = 3\) vào biểu thức \(A = \frac{{x + {y^2}}}{5} + xy\), ta được: \(A = \frac{{1 + {3^2}}}{5} + 1.3 = 5\).

Vậy giá trị của biểu thức \(A = 5\) khi \(x = 1,y = 3\).

2.2. a) \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\)

               \( = \left( {2{x^4} - {x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) - x + 3\)

               \( = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3\).

\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\)

          \( =  - {x^4} + \left( {10{x^3} - 4{x^3}} \right) - 2{x^2} + 4x + 3\)

          \( =  - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\).

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc là 4, hệ số cao nhất là \(1\).

c) Ta có \(A\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 6.{\left( { - 1} \right)^3} + 2.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3\)

                         \( = 1 + 6 + 2 + 1 + 3 = 13\)

               \(B\left( 1 \right) =  - {1^4} + {6.1^3} - {2.1^2} + 4.1 + 3\)

                        \( =  - 1 + 6 - 2 + 4 + 3 = 10\)

Do \(13 > 10\) nên \(A\left( { - 1} \right) > B\left( 1 \right)\).

d) Ta có \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)

\(M\left( x \right) = \left( {{x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3} \right) + \left( { - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3} \right)\)

           \[ = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3 - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\]

           \[ = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( { - 6{x^3} + 6{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - x + 4x} \right) + \left( {3 + 3} \right)\]

             \[ = 3x + 6.\]

Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)

Do đó \(3x + 6 = 0\), suy ra \(x =  - 2\).

Vậ       y \(x =  - 2\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).