Thanh long là một loại cây chịu hạn, không kén đất, rất thích hợp với điều kiện khí hậu và thổ nhưỡng của tỉnh Bình Thuận. Giá bán 1 kg thanh long ruột đỏ loại I là \[32{\rm{ }}000\] đồng.

a) Viết công thức biểu thị số tiền \[y\] (đồng) thu được khi bán \[x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)\] thanh long ruột đỏ loại I. Hỏi \[y\] có phải là hàm số của \[x\] không? Vì sao?

b) Tính số tiền thu được khi bán 8 kg thanh long ruột đỏ loại I.

1. Ta có \(AB \bot AE;\,\,CD \bot AE\) nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).

Xét tam giác \(ABE\) có \(CD\,{\rm{//}}\,AB\), ta có

\[\,\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EA}}\] (hệ quả của định lí Thalès).

Hay \[\frac{{1,5}}{{AB}} = \frac{2}{{2 + 8}}\] suy ra \[AB = 7,5\,\,{\rm{m}}\].

Vậy chiều cao của cây là \[7,5\,\,{\rm{m}}\].

2.

a) Xét \[\Delta ABK\] và \[\Delta CBF\] có:

\[\widehat {ABK} = \widehat {CBF}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\]; \(\widehat {AKB} = \widehat {CFB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta ABK\backsim \Delta CBF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta ACF\] có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\); \(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta AEB\backsim \Delta ACF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\) (đpcm)

c) Xét \[\Delta BFC\] vuông tại \[F\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(FO = \frac{{BC}}{2}\).

Xét \[\Delta BEC\] vuông tại \[E\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(EO = \frac{{BC}}{2}\).

Do đó \[FO = EO = \frac{{BC}}{2}\].              (1)

Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(EI = \frac{{AH}}{2}\).

Xét \[\Delta AFH\] vuông tại \[F\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(FI = \frac{{AH}}{2}\).

Do đó \[FI = EI = \frac{{AH}}{2}\].  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được \[OI\] là đường trung trực của cạnh \[EF\].

Khi đó \[OI \bot EF\] hay \[OI \bot DN\].

Do đó \[DN\] là đường cao của \[\Delta DOI\].

Xét \[\Delta DOI\] có \[DN\] và \[IK\] là đường cao và \[N\] là giao của \[DN\] và \[IK\].

Do đó \[N\] là trực tâm của tam giác \[DOI\].

Vậy \[OI \bot DI\] (đpcm).

2. Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương.

Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: \[x - 10\] (tuổi).

Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: \(\frac{{x - 10}}{3}\) (tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: \[x + 2\] (tuổi).

 Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: \(\frac{{x + 2}}{2}\) (tuổi).

Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:

\(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{x - 10}}{3} + 10 + 2\)

\(\frac{{x + 2}}{2} - \frac{{x - 10}}{3} = 12\)
\(\frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{6} - \frac{{2\left( {x - 10} \right)}}{6} = \frac{{72}}{6}\)

\(3\left( {x + 2} \right) - 2\left( {x - 10} \right) = 72\)

\(3x + 6 - 2x + 20 = 72\)

\(3x + 6 - 2x + 20 = 72\)

\[x = 46\] (TMĐK).

Khi đó, số tuổi hiện nay của người thứ hai là: \(\frac{{46 + 2}}{2} - 2 = 12\) (tuổi).