Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Ba đường cao \(AI,\,\,BK,\,\,CL\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh:

a) Tứ giác \(BIHL\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(IKL.\)

       3.1. Ta có \(\widehat {ADx} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp). Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ADx} = 120^\circ .\)

Mà \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABE\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {AEB} + \widehat {BAE}\).

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {ABC} - \widehat {AEB} = 120^\circ  - 45^\circ  = 75^\circ .\)

Lại có \(\widehat {BAE} + \widehat {BAD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) và \(\widehat {BCD} + \widehat {BAD} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau trong tứ giác \(ABCD\) nội tiếp).

Suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {BAE} = 75^\circ .\)

3.2. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Oy.\] Ta có \(A\left( {3;\,\,3} \right)\) nên \(OH = AH = \left| 3 \right| = 3.\) Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có: \[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\] Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 .\)

Ta cũng có \(\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Suy ra \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Ta có điểm \(B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) nằm trên trục \[Ox\] nên \(OB = \left| { - 3\sqrt 2 } \right| = 3\sqrt 2 .\)

Khi đó \(OA = OB = 3\sqrt 2 .\)

Mặt khác, \(\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {HOB} = 45^\circ  + 90^\circ  = 135^\circ .\)

Như vậy, phép quay \(135^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm \(A\) thành điểm \(B\).

     2.1. a) Số học sinh nam lớp 9A là: \(2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16\) (học sinh).

                Số học sinh nữ lớp 9A là: \(1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14\) (học sinh).

               Số học sinh của lớp 9A là: \(16 + 14 = 30\) (học sinh)

     b) Quan sát bảng số liệu, số lượng học sinh sinh tháng 10 là \(2\) học sinh.

     Suy ra xác suất để chọn được bạn nam sinh tháng 10 là \(\frac{2}{{30}} = \frac{1}{{15}}\)        .

     c) Số học sinh sinh từ tháng 8 đến tháng 12 là: \(2 + 1 + 1 + 1 = 5\) (học sinh)

     Suy ra xác suất chọn được bạn nữ sinh từ tháng 8 đến tháng 12 là: \(\frac{5}{{14}}\).

     2.2 a) Kí hiệu \(\left( {i;\,\,j} \right)\) là kết quả của phép thử, trong đó \(i,\,\,j\) tương ứng là hai số trên thẻ được lấy ra ở lần thứ nhất và lần thứ hai.

Ta liệt kê tất cả kết quả của phép thử bằng cách lập bảng sau:

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega  = \left\{ {\left( { - 2,\,\, - 2} \right);\,\,\left( { - 1,\,\, - 2} \right);\,\,\left( {2,\,\, - 2} \right);\,\,\left( {4,\,\, - 2} \right);\,\,\left( { - 2,\,\, - 1} \right);\,\,\left( { - 1,\,\, - 1} \right);\,\,\left( {2,\,\, - 1} \right);\,\,} \right.\left( {4,\,\, - 1} \right);\,\)

\(\left( { - 2,\,\,2} \right);\,\,\left( { - 1,\,\,2} \right);\)\(\left. {\left( {2,\,\,2} \right);\,\,\left( {4,\,\,2} \right);\,\,\left( { - 2,\,\,4} \right);\,\,\left( { - 1,\,\,4} \right);\,\,\left( {2,\,\,4} \right);\,\,\left( {4,\,\,4} \right)} \right\}.\)

Không gian mẫu có 16 phần tử.

     b) Vì các thẻ số có cùng kích thước và vật liệu nên các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho là:

\(\left( {4,\,\, - 2} \right);\,\,\left( {2,\,\, - 1} \right);\,\,\left( {4,\,\, - 1} \right);\,\,\left( { - 1,\,\,2} \right);\,\,\left( {2,\,\,2} \right);\,\,\left( {4,\,\,2} \right);\,\,\left( { - 2,\,\,4} \right);\,\,\left( { - 1,\,\,4} \right);\,\,\left( {2,\,\,4} \right);\,\,\left( {4,\,\,4} \right).\)

Có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

Vậy xác suất của biến cố đã cho là: \(\frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}.\)