Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Ba đường cao \(AI,\,\,BK,\,\,CL\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh:

a) Tứ giác \(BIHL\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(IKL.\)

       3.1. Ta có \(\widehat {ADx} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp). Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ADx} = 120^\circ .\)

Mà \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABE\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {AEB} + \widehat {BAE}\).

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {ABC} - \widehat {AEB} = 120^\circ  - 45^\circ  = 75^\circ .\)

Lại có \(\widehat {BAE} + \widehat {BAD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) và \(\widehat {BCD} + \widehat {BAD} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau trong tứ giác \(ABCD\) nội tiếp).

Suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {BAE} = 75^\circ .\)

3.2. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Oy.\] Ta có \(A\left( {3;\,\,3} \right)\) nên \(OH = AH = \left| 3 \right| = 3.\) Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có: \[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\] Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 .\)

Ta cũng có \(\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Suy ra \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Ta có điểm \(B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) nằm trên trục \[Ox\] nên \(OB = \left| { - 3\sqrt 2 } \right| = 3\sqrt 2 .\)

Khi đó \(OA = OB = 3\sqrt 2 .\)

Mặt khác, \(\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {HOB} = 45^\circ  + 90^\circ  = 135^\circ .\)

Như vậy, phép quay \(135^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm \(A\) thành điểm \(B\).

     a) Đối tượng thống kê là số tài khoản mạng xã hội của các bạn lớp 9E.

     Tiêu chí thống kê là tầm số tương đối của số tài khoản mạng xã hội của các bạn lớp 9E.

     b) Quan sát biểu đồ, ta thấy số mạng tài khoản xã hội chiếm tần số tương đối cao nhất là nhóm  \(\left[ {2;4} \right)\) tức là hoặc lớn hơn bằng \(2\) và nhỏ hơn \(4,\) chiếm \(47\% \).

    Nhóm \(\left[ {4;6} \right)\) là nhóm có tần số tương đối thấp nhất, chiếm \(25\% \).

     c) Ta có bảng tần số tương đối như sau:

     d) Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng như sau:

Tổng tần số tương đối của hai nhóm \(\left[ {2;\,\,4} \right)\) và \(\left[ {4;\,\,6} \right)\) là: \(47\%  + 25\%  = 72\%  > 70\% .\)

Như vậy bạn Phương nhận định đúng.