Cô giáo thống kê học lực của các bạn lớp 9B ở học kì I và học kì II như sau:

Học lực	Tốt	Khá	Đạt
Học kì I	9	22	5
Học kì II	13	19	4

     a) Nêu đối tượng thống kê, tiêu chí thống kê trong mẫu số liệu trên.

     b) Tính số học sinh của lớp 9B. So với kì I, lực học kì II của lớp 9B tăng, giảm như thế nào?

     c) Lập bảng tần số tương đối thống kê lực học của học sinh lớp 9B trong học kì I và học kì II.

     d) Hãy lựa chọn và vẽ biểu đồ tương đối phù hợp để biểu diễn dữ liệu trong bảng trên.

     a)

Vì điểm \(B\) nằm trên đường tròn đường kính \(AD\) nên \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do \(\Delta ABE\) vuông tại \(B\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm \(AE\) hay đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABE\) có đường kính \(AE\).

Tương tự, \(EF \bot AD\) nên \(\Delta AEF\) vuông tại \(F,\) có đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đường kính \(AE.\)

Do đó, các điểm \(A,\,\,B,\,\,E,\,\,F\) đều nằm trên đường tròn đường kính \(AE.\)

Vậy tứ giác \(ABEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AE.\)

       b) Tứ giác \(ABEF\) nội tiếp nên \(\widehat {BAE} = \widehat {BFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE).\) (1)

Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác \(CDFE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(DE.\)

Suy ra \(\widehat {EFC} = \widehat {EDC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC).\) (2)

Lại có tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC)\) hay \(\widehat {BAE} = \widehat {EDC}.\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {BFE} = \widehat {EFC}\) hay \(FE\) là tia phân giác của \(\widehat {BFC}.\)

Chứng minh tương tự như trên, ta có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {CBF}.\)

Xét \(\Delta BCF\) có \(BD,\,\,FE\) là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là giao điểm ba đường phân giác của tam giác này.

Do đó \(E\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BCF.\)

     2.1. a) Số học sinh nam tham gia cuộc thi là: \(12 + 8 + 10 + 9 + 11 = 50\) (học sinh)

                Số học sinh nữ tham gia cuộc thi là: \(9 + 10 + 7 + 8 + 6 = 40\) (học sinh)

     b) Xác suất để học sinh nam đạt giải ở môn chạy bền là: \(\frac{4}{{50}} = \frac{2}{{25}}\).

     c) Tổng số học sinh tham gia thi là: \(50 + 40 = 90\) (học sinh)

         Số học sinh đạt giải ở môn cầu lông là: \(5 + 4 = 9\) (học sinh)

         Do đó, xác suất để chọn được học sinh đạt giải môn cầu lông là: \(\frac{9}{{90}} = \frac{1}{{10}}\).

     2.2. a) Kí hiệu \(\overline {xy} \) là số mà khách hàng lập được, trong đó \(y\) là số ghi trên lá thăm rút được lần thứ nhất (số hàng đơn vị), \(x\) là số ghi trên lá thăm rút được lần thứ hai (số hàng chục).

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega  = \left\{ {11;\,\,12;\,\,13;\,\,14;\,\,15;\,\,16;\,\,17;\,\,18;\,\,19;\,\,...;\,\,91;\,\,92;\,\,93;\,\,94;\,\,95;\,\,96;\,\,97;\,\,98;\,\,99} \right\}.\)

Số phần tử của không gian mẫu là 81.

     b) Vì 9 lá thăm giống nhau về kích thước, hình dạng nên 81 kết quả trên là đồng khả năng.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho là: \(11;\,\,13;\,\,17;\,\,19.\)

Vậy xác suất của biến cố đã cho là: \(\frac{4}{{81}}\).